Question

对所有正数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，乘积 $\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}$ 等于

For all positive numbers $x,$ $y,$ $z,$ the product $\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}$ equals

$x^{-2}y^{-2}z^{-2}$

$x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}$

$(x+y+z)^{-1}$

$\frac1{xyz}$

$\frac1{xy+yz+zx}$

答案：A

知识点：代数变形分数

难度评级：1630

小提示：

把每个倒数之和通分

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

大提示：

两个倒数之和分别会产生因子 $xy+yz+zx$ 和 $x+y+z$

The two reciprocal sums introduce factors $xy+yz+zx$ and $x+y+z$

解答：

有 $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ 以及 $\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz} \end{aligned}\text{。}$ 所有对称和因子约去后，剩下 $\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}$ 。

所以正确答案是 A。

We have $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ and $\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}$ All symmetric sum factors cancel, leaving $\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.$

Therefore, the correct answer is A.

1981 AMC 12 第 8 题

答案：A

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题