Question

令 $M$ 为从 $10$ 到 $30$ （含端点）所有整数的最小公倍数。令 $N$ 为 $M$ ， $32$ ， $33$ ， $34$ ， $35$ ， $36$ ， $37$ ， $38$ ， $39$ 和 $40$ 的最小公倍数。 $\dfrac{N}{M}$ 的值是多少？

Let $M$ be the least common multiple of all the integers $10$ through $30,$ inclusive. Let $N$ be the least common multiple of $M,$ $32,$ $33,$ $34,$ $35,$ $36,$ $37,$ $38,$ $39,$ and $40.$ What is the value of $\dfrac{N}{M}?$

$1$

$2$

$37$

$74$

$2886$

答案：D

知识点：最小公倍数质因数分解

难度评级：1440

小提示：

$M$ 已经含有 $2^4, 3^3, 5^2, 7$ ，以及不超过 $29$ 的所有质数；检查 $32$ 至 $40$ 会新增什么

$M$ already contains $2^4, 3^3, 5^2, 7,$ and all primes up to $29;$ check what $32$ – $40$ add

大提示：

$32 = 2^5$ 提高了 $2$ 的幂次，且 $37$ 是新的质数；没有其他新增内容

$32 = 2^5$ raises the power of $2,$ and $37$ is a new prime; nothing else is new

解答：

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ 含有 $2^4$ （来自 $16$ ）， $3^3$ （来自 $27$ ）， $5^2$ （来自 $25$ ）， $7$ ，以及直到 $29$ 的每个质数。

在 $32, \ldots, 40$ 中，唯一的新贡献是 $32 = 2^5$ ，它把 $2$ 的幂次从 $2^4$ 提高到 $2^5$ ，以及新的质数 $37$ 。其他数都只分解成 $M$ 中已经有的质数和幂次。

因此 $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74$ 。

所以正确答案是 D。

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contains $2^4$ (from $16$ ), $3^3$ (from $27$ ), $5^2$ (from $25$ ), $7,$ and every prime up to $29.$

Among $32, \ldots, 40,$ the only new contributions are $32 = 2^5,$ which raises the power of $2$ from $2^4$ to $2^5,$ and the new prime $37.$ Everything else factors into primes and powers already in $M.$

Therefore $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 8 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题