Question

有多少个满足 $0\le\theta\le2\pi$ 的角 $\theta$ 使得 $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0$ ？

How many angles $\theta$ with $0\le\theta\le2\pi$ satisfy $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：A

知识点：对数三角学极限情形界定

难度评级：1480

小提示：

$\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)$ $=\log(\sin3\theta\cos2\theta)$ ，它必须等于 $0$ 。

$\log(\sin3\theta)+\log(\cos2\theta)$ $=\log(\sin3\theta\cos2\theta),$ which must equal $0$

大提示：

两个都不超过 $1$ 的数的乘积等于 $1$ ，只有在它们都等于 $1$ 时才可能

A product of two numbers each at most $1$ equals $1$ only when both equal $1$

解答：

方程表示 $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ ，且两个因子都必须为正（对数才有定义）。因为 $\sin(3\theta)\le1$ 且 $\cos(2\theta)\le1$ ，它们的乘积为 $1$ 只能在 $\sin(3\theta)=1$ 且 $\cos(2\theta)=1$ 同时成立时发生。但 $\cos(2\theta)=1$ 强制 $\theta\in\{0,\pi,2\pi\}$ ，此时 $\sin(3\theta)=0\ne1$ 。没有角满足条件。因此正确答案是 A。

The equation means $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ with both factors positive (for the logs to be defined). Since $\sin(3\theta)\le1$ and $\cos(2\theta)\le1,$ their product is $1$ only if $\sin(3\theta)=1$ and $\cos(2\theta)=1$ simultaneously. But $\cos(2\theta)=1$ forces $\theta\in\{0,\pi,2\pi\},$ where $\sin(3\theta)=0\ne1.$ No angle works. Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12A 第 8 题

答案：A

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题