Question

如图， $\angle EAB$ 和 $\angle ABC$ 是直角， $AB = 4$ ， $BC = 6$ ， $AE = 8$ ，且 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BE}$ 交于 $D$ 。 $\triangle ADE$ 与 $\triangle BDC$ 的面积之差是多少？

In the figure, $\angle EAB$ and $\angle ABC$ are right angles, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ and $\overline{AC}$ and $\overline{BE}$ intersect at $D.$ What is the difference between the areas of $\triangle ADE$ and $\triangle BDC?$

$2$

$4$

$5$

$8$

$9$

答案：B

知识点：三角形面积面积分割

难度评级：1370

小提示：

给这两个三角形都加上公共的 $\triangle ABD$ 。

Add the shared triangle $\triangle ABD$ to each of the two triangles

大提示：

这个差等于 $[\triangle ABE] - [\triangle ABC]$ 。

The difference equals $[\triangle ABE] - [\triangle ABC]$

解答：

设 $\triangle ADE$ ， $\triangle BDC$ ，和 $\triangle ABD$ 的面积分别为 $x$ ， $y$ ，和 $z$ 。

则 $\triangle ABE$ 的面积为 $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z$ ，而 $\triangle ABC$ 的面积为 $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z$ 。

所求差为 $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Let $x,$ $y,$ and $z$ be the areas of $\triangle ADE,$ $\triangle BDC,$ and $\triangle ABD,$ respectively.

Then $\triangle ABE$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,$ and $\triangle ABC$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z.$

The requested difference is $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A 第 8 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题