Question

线段 $\overline{AB}$ 是一个圆的直径，且 $AB=24$ 。点 $C$ 在圆上且不等于 $A$ 或 $B$ 。当 $C$ 绕圆移动时， $\triangle ABC$ 的重心轨迹是一条缺少两个点的闭曲线。取最接近的正整数，该曲线围成区域的面积是多少？

Line segment $\overline{AB}$ is a diameter of a circle with $AB=24.$ Point $C,$ not equal to $A$ or $B,$ lies on the circle. As point $C$ moves around the circle, the centroid (center of mass) of $\triangle ABC$ traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

$25$

$38$

$50$

$63$

$75$

答案：C

知识点：重心位似圆面积

难度评级：1600

小提示：

令 $O$ 为圆心；重心位于从 $O$ 到 $C$ 的三分之一处。

Let $O$ be the center; the centroid lies one-third of the way from $O$ toward $C$

大提示：

当 $C$ 在半径为 $12$ 的圆上移动时，重心描出半径为 $\tfrac13\cdot12$ 的圆。

As $C$ moves on the circle of radius $12,$ the centroid traces a circle of radius $\tfrac13\cdot12$

解答：

令 $O$ 为圆心。 $\triangle ABC$ 的重心是 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 坐标的平均；由于 $O$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，重心位于从 $O$ 到 $C$ 的三分之一处。

当 $C$ 沿半径为 $12$ 的圆运动时，重心沿半径为 $\tfrac13\cdot12=4$ 的圆运动。该圆面积为 $16\pi\approx50$ 。

所以正确答案是 C。

Let $O$ be the center of the circle. The centroid of $\triangle ABC$ is the average of $A,$ $B,$ and $C;$ since $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ the centroid lies one-third of the way from $O$ to $C.$

As $C$ traces the circle of radius $12,$ the centroid traces a circle of radius $\tfrac13\cdot12=4.$ Its area is $16\pi\approx50.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 8 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题