Question

有多少个整数 $n$ 介于 $1$ 与 $100$ 之间，使 $x^2+x-n$ 能分解为两个整系数一次因式的乘积？

For how many integers $n$ between $1$ and $100$ does $x^2+x-n$ factor into the product of two linear factors with integer coefficients?

$0$

$1$

$2$

$9$

$10$

答案：D

知识点：因式分解区间内整数计数二次方程

难度评级：1530

小提示：

将因式写成 $(x-r)(x+s)$ ，其中 $r,s$ 为正整数

Write the factors as $(x-r)(x+s)$ with positive integers $r,s$

大提示：

$x$ 的系数迫使两个整数参数相差 $1$

The coefficient of $x$ forces the two integer parameters to differ by $1$

解答：

整系数分解必为 $(x-k)(x+k+1)$ ，其中 $k$ 为正整数。展开得 $x^2+x-k(k+1)$ ，所以 $n=k(k+1)$ 。 $k=1,2,\ldots,9$ 时 $n\le100$ ，而 $10\cdot11\gt100$ 。因此共有 $9$ 个值。

所以正确答案是 D。

An integer factorization must have the form $(x-k)(x+k+1)$ for some positive integer $k.$ Expanding gives $x^2+x-k(k+1),$ so $n=k(k+1).$ The values $k=1,2,\ldots,9$ give $n\le100,$ while $10\cdot11\gt100.$ There are $9$ values.

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 第 8 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题