Question

有多少对非零实数 $(a,b)$ 满足方程 $\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}\text{？}$

How many pairs $(a,b)$ of nonzero real numbers satisfy the equation $\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?$

没有

none

$1$

$2$

每个 $b\ne0$ 对应一对

one pair for each $b\ne0$

每个 $b\ne0$ 对应两对

two pairs for each $b\ne0$

答案：A

知识点：分式方程二次方程

难度评级：1590

小提示：

在注意 $a$ 、 $b$ 和 $a+b$ 均不为零的前提下消去分母

Clear the denominators, noting that $a,$ $b,$ and $a+b$ must be nonzero

大提示：

把所得齐次二次方程看作关于比值 $\frac{a}{b}$ 的方程

Treat the resulting homogeneous quadratic as an equation in the ratio $\frac{a}{b}$

解答：

消去分母可得 $(a+b)^2=ab\text{，}$ 即 $a^2+ab+b^2=0$ 。因为 $b\ne0$ ，令 $t=\frac{a}{b}$ 。于是 $t^2+t+1=0$ ，其判别式为 $1-4=-3$ 。因此没有实数对满足条件。

因此，正确答案是 A。

Clearing denominators gives $(a+b)^2=ab,$ or $a^2+ab+b^2=0.$ Since $b\ne0,$ let $t=\frac{a}{b}.$ Then $t^2+t+1=0,$ whose discriminant is $1-4=-3.$ Thus there are no real pairs.

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 8 题

答案：A

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题