Question

有多少个整数有序对 $(x, y)$ 满足方程

$x^{2020} + y^2 = 2y\text{？}$

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation

$x^{2020} + y^2 = 2y?$

$1$

$2$

$3$

$4$

无限多个

infinitely many

答案：D

知识点：配方法丢番图方程极限情形界定

难度评级：1410

小提示：

对 $y$ 配方，得 $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$ 。

Complete the square in $y:$ $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$

大提示：

因为 $x^{2020} \ge 0$ 且 $(y - 1)^2 \ge 0$ ，只有 $x \in \{-1, 0, 1\}$ 才可能满足条件。

Since $x^{2020} \ge 0$ and $(y - 1)^2 \ge 0,$ only $x \in \{-1, 0, 1\}$ can work

解答：

配方得 $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$ 。两项都非负，所以 $x^{2020} \le 1$ ，从而 $x \in \{-1, 0, 1\}$ 。

若 $x = 0$ ，则 $(y - 1)^2 = 1$ ，所以 $y = 0$ 或 $y = 2$ 。若 $x = \pm 1$ ，则 $x^{2020} = 1$ ，从而 $(y - 1)^2 = 0$ ，故 $y = 1$ 。所有解为 $(0, 0), (0, 2), (1, 1)$ 和 $(-1, 1)$ ，一共四个。

所以正确答案是 D。

Completing the square gives $x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.$ Both terms are nonnegative, so $x^{2020} \le 1,$ forcing $x \in \{-1, 0, 1\}.$

If $x = 0,$ then $(y - 1)^2 = 1,$ giving $y = 0$ or $y = 2.$ If $x = \pm 1,$ then $x^{2020} = 1,$ so $(y - 1)^2 = 0$ and $y = 1.$ The solutions are $(0, 0), (0, 2), (1, 1),$ and $(-1, 1)$ — four in all.

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B 第 8 题

答案：D

难度评级：1410

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题