1972 AMC 12 第 8 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1972 AMC 12 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

若 $\lvert x-\log y\rvert=x+\log y$ ，其中 $x$ 和 $\log y$ 均为实数，则：

If $\lvert x-\log y\rvert=x+\log y,$ where $x$ and $\log y$ are real, then:

$x=0$

$y=1$

$x=0$ 且 $y=1$

$x=0$ and $y=1$

$x(y-1)=0$

以上皆非

None of these

答案：D

知识点：绝对值对数分类讨论

难度评级：1740

小提示：

分别讨论 $x-\log y\ge0$ 和 $x-\log y\lt0$ 两种情形

Separate the cases $x-\log y\ge0$ and $x-\log y\lt0$

大提示：

一种情形推出 $\log y=0$ ，另一种情形推出 $x=0$

One case forces $\log y=0$ , while the other forces $x=0$

解答：

若 $x-\log y\ge0$ ，由原方程得 $\log y=0$ ，所以 $y=1$ 。若 $x-\log y\lt0$ ，则得 $x=0$ 。因此每个解都满足 $x=0$ 或 $y=1$ ，即 $x(y-1)=0\text{。}$

因此，正确答案是 D。

If $x-\log y\ge0,$ the equation gives $\log y=0,$ hence $y=1.$ If $x-\log y\lt0,$ it gives $x=0.$ Therefore every solution satisfies either $x=0$ or $y=1,$ which is expressed by $x(y-1)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

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