Question

存在整数 $a$ 和 $b$ ，使得多项式 $x^3 - 5x^2 + ax + b$ 有根 $4 + \sqrt{5}$ 。 $a + b$ 是多少？

There are integers $a$ and $b$ such that the polynomial $x^3 - 5x^2 + ax + b$ has $4 + \sqrt{5}$ as a root. What is $a + b?$

$13$

$17$

$20$

$30$

$68$

答案：C

知识点：韦达定理多项式根式

难度评级：1440

小提示：

整数系数会迫使共轭数 $4 - \sqrt{5}$ 也是一个根。

Integer coefficients force the conjugate $4 - \sqrt{5}$ to be a root as well

大提示：

三个根的和为 $5$ ，先求第三个根，再展开读出 $a$ 和 $b$ 。

The three roots sum to $5,$ so find the third root, then expand to read off $a$ and $b$

解答：

共轭数 $4 - \sqrt{5}$ 也是根，而两者对应的二次因式是 $x^2 - 8x + 11$ 。设第三个根为 $r$ ，由根和得 $8 + r = 5$ ，所以 $r = -3$ 。展开 $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33$ ，故 $a = -13$ ， $b = 33$ ， $a + b = 20$ 。

所以正确答案是 C。

The conjugate $4 - \sqrt{5}$ is also a root, and these two are the roots of $x^2 - 8x + 11.$ The third root $r$ satisfies $8 + r = 5,$ so $r = -3.$ Then $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ giving $a = -13$ and $b = 33,$ so $a + b = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 8 题

答案：C

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题