Question

数列由 $D_0 = 0$ 、 $D_1 = 0$ 、 $D_2 = 1$ ，以及对 $n \ge 3$ 成立的 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ 定义。三元组 $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})$ 中各数的奇偶性是什么？其中 $E$ 表示偶数， $O$ 表示奇数。

A sequence of numbers is defined by $D_0 = 0,$ $D_1 = 0,$ $D_2 = 1,$ and $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ for $n \ge 3.$ What are the parities (evenness or oddness) of the triple of numbers $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),$ where $E$ denotes even and $O$ denotes odd?

$(O, E, O)$

$(E, E, O)$

$(E, O, E)$

$(O, O, E)$

$(O, O, O)$

答案：C

知识点：奇偶性递推找规律

难度评级：1600

小提示：

只关心奇偶性，所以用 $E$ 或 $O$ 计算每一项，并记住 $O+O=E$ 。

Only parities matter, so compute the sequence with each term as $E$ or $O$ using $O+O=E$

大提示：

奇偶性序列以 $7$ 为周期；把 $2021, 2022, 2023$ 对 $7$ 取余

The parity sequence repeats with period $7;$ reduce $2021, 2022, 2023$ modulo $7$

解答：

模 $2$ 计算，项 $D_0, D_1, D_2, \ldots$ 的奇偶性为 $E$ 、 $E$ 、 $O$ 、 $O$ 、 $O$ 、 $E$ 、 $O$ 、 $E$ 、 $E$ 、 $O$ 、 $O$ 、 $O$ 、 $E$ 、 $O, \ldots$ ，从 $D_0$ 开始以 $7$ 为周期重复，因为 $D_7, D_8, D_9$ 的奇偶性与 $D_0, D_1, D_2$ 相同，都是 $E, E, O$ 。

由于 $2021 \equiv 5$ 、 $2022 \equiv 6$ ，且 $2023 \equiv 0 \pmod 7$ ，所求奇偶性分别与 $D_5, D_6, D_0$ 相同，即 $E, O, E$ 。

因此，正确答案是 C。

Working modulo $2,$ the terms $D_0, D_1, D_2, \ldots$ have parities $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O,$ $E,$ $E,$ $O,$ $O,$ $O,$ $E,$ $O, \ldots$ which repeat with period $7$ starting from $D_0$ (indeed $D_7, D_8, D_9$ have the same parities $E, E, O$ as $D_0, D_1, D_2$ ).

Since $2021 \equiv 5,$ $2022 \equiv 6,$ and $2023 \equiv 0 \pmod 7,$ the parities match those of $D_5, D_6, D_0,$ namely $E, O, E.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Spring 第 8 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题