Question

令 $f(x)=x^2(1-x)^2$ 。求下列和的值：

$\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right) \end{gathered}\text{？}$

Let $f(x)=x^2(1-x)^2.$ What is the value of the sum

$\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}$

$0$

$\dfrac{1}{2019^4}$

$\dfrac{2018^2}{2019^4}$

$\dfrac{2020^2}{2019^4}$

$1$

答案：A

知识点：对称性（代数）配对与分组

难度评级：1560

小提示：

$f(x)=f(1-x)$

大提示：

将 $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)$ 与 $f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right)$ 配对，并比较它们的符号

Pair $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)$ with $f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right),$ and compare their signs

解答：

因为 $f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x)$ ，所以 $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right)$ 。

在这个和中，指标为 $k$ 的项符号是 $(-1)^{k+1}$ ，而指标为 $2019-k$ 的项数值相等，但符号是 $(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k}$ ，恰好相反。

每一项都与它的配对项抵消，所以总和为 $0$ 。

所以正确答案是 A。

Since $f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x),$ we have $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right).$

In the sum, the term with index $k$ has sign $(-1)^{k+1},$ while the term with index $2019-k$ equals it in value but has sign $(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k},$ the opposite.

Every term cancels with its partner, so the total is $0.$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 8 题

答案：A

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题