Question

三维空间中所有到线段 $AB$ 距离不超过 $3$ 个单位的点组成的区域体积为 $216\pi$ 。 $AB$ 的长度是多少？

The region consisting of all points in three-dimensional space within $3$ units of line segment $AB$ has volume $216\pi.$ What is the length $AB?$

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

答案：D

知识点：圆柱球体积

难度评级：1440

小提示：

这个区域是半径为 $3$ 的圆柱，两端各有一个半球

The region is a cylinder of radius $3$ with a hemisphere capping each end

大提示：

两个半球合成一个完整球： $9\pi h+\dfrac{4}{3}\pi 3^3=216\pi$ 。

The two hemispheres combine into a full sphere: $9\pi h+\dfrac{4}{3}\pi 3^3=216\pi$

解答：

设 $h=AB$ 。这个区域是一个半径为 $3$ 、高为 $h$ 的圆柱，两端各接一个半径为 $3$ 的半球。

圆柱体积为 $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h$ ，两个半球合起来是一个球，体积为 $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi$ 。因此 $9\pi h+36\pi=216\pi\text{，}$ 得 $h=20$ 。

所以正确答案是 D。

Let $h=AB.$ The region is a cylinder of radius $3$ and height $h$ with a hemisphere of radius $3$ on each end.

The cylinder has volume $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,$ and the two hemispheres together form a sphere of volume $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.$ So $9\pi h+36\pi=216\pi,$ giving $h=20.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 8 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题