Question

集合 $\{0,1,2,3,\ldots,12\}$ 有多少个非空子集 $B$ ，满足 $B$ 中元素个数等于 $B$ 的最小元素？例如， $B=\{4,6,8,11\}$ 满足这个条件。

How many nonempty subsets $B$ of $\{0,1,2,3,\ldots,12\}$ have the property that the number of elements in $B$ is equal to the least element of $B?$ For example, $B=\{4,6,8,11\}$ satisfies the condition.

$256$

$136$

$108$

$144$

$156$

答案：D

知识点：组合分类讨论

难度评级：1570

小提示：

如果最小元素是 $m$ ，那么 $B$ 正好有 $m$ 个元素，且所有元素都至少为 $m$ 。

If the least element is $m,$ then $B$ has exactly $m$ elements, all at least $m$

大提示：

从大于 $m$ 的 $12-m$ 个整数中选择另外 $m-1$ 个元素；这给出 $\binom{12-m}{m-1}$

Choose the other $m-1$ elements from the $12-m$ integers greater than $m:$ this gives $\binom{12-m}{m-1}$

解答：

如果最小元素为 $m\ (m\ge 1)$ ，则 $|B|=m$ ，其余 $m-1$ 个元素来自 $\{m+1,\ldots,12\}$ ，这个集合大小为 $12-m$ 。总数为 $\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}\text{，} \end{aligned}$ 等于 $1+10+36+56+35+6$ $=144$ 。

因此，正确答案是 D。

If the least element is $m\ (m\ge 1),$ then $|B|=m$ and the remaining $m-1$ elements come from $\{m+1,\ldots,12\},$ a set of size $12-m.$ The count is $\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}$ which equals $1+10+36+56+35+6$ $=144.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B 第 8 题

答案：D

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题