Question

有多少个整数 $n$ 使得表达式

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

表示一个实数，其中 $\log$ 表示以 $10$ 为底的对数？

For how many integers $n$ does the expression

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

represent a real number, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm?

$900$

$3$

$902$

$2$

$901$

答案：E

知识点：对数不等式

难度评级：1530

小提示：

表达式为实数，当且仅当平方根下的分式 $\ge 0$ 。

The expression is real exactly when the fraction under the square root is $\ge 0$

大提示：

令 $L=\log n$ ；分式为 $\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0$ ，且 $n$ 必须是正整数

Let $L=\log n;$ the fraction is $\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,$ and $n$ must be a positive integer

解答：

设 $L=\log n$ ，则 $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L)$ ，分式为 $\dfrac{L(2-L)}{L-3}$ 。作符号分析可知它 $\ge 0$ 当且仅当 $L\le 0$ 或 $2\le L\lt 3$ 。由于 $n$ 是正整数， $L\le 0$ 只给出 $n=1$ ，而 $2\le L\lt 3$ 给出 $100\le n\le 999$ ，共 $900$ 个值。总数为 $1+900=901$ 。

因此，正确答案是 E。

Write $L=\log n.$ Then $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L),$ and the fraction is $\dfrac{L(2-L)}{L-3}.$ A sign chart shows this is $\ge 0$ exactly when $L\le 0$ or $2\le L\lt 3.$ Since $n$ is a positive integer, $L\le 0$ forces $n=1,$ while $2\le L\lt 3$ gives $100\le n\le 999,$ which is $900$ values. In total $1+900=901.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 7 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题