1965 AMC 12 第 7 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1965 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

方程 $ax^2+bx+c=0$ 各根的倒数之和为：

The sum of the reciprocals of the roots of the equation $ax^2+bx+c=0$ is:

$\dfrac1a+\dfrac1b$

$-\dfrac cb$

$\dfrac bc$

$-\dfrac ab$

$-\dfrac bc$

答案：E

知识点：二次方程韦达定理代数变形

难度评级：1510

小提示：

若两根为 $r,s$ ，则 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

If the roots are $r,s,$ then $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

大提示：

利用 $r+s=-\frac{b}{a}$ 和 $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

解答：

根据韦达定理， $r+s=-\frac{b}{a}$ ，且 $rs=\frac{c}{a}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

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