Question

在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度 $v$ 取决于它的脚趾数 $n$ 和眼睛数 $m$ 。这种关系可以表示为 $v = k n^a m^b$ 厘米每小时，其中 $k$ ， $a$ ，和 $b$ 是整数常数。在所有生物都有 $5$ 个脚趾的群体中， $\log v = 4 + 2\log m$ ；在所有生物都有 $25$ 只眼睛的群体中， $\log v = 4 + 4\log n$ ，其中对数均以 $10$ 为底。 $k + a + b$ 是多少？

In a certain alien world, the maximum running speed $v$ of an organism is dependent on its number of toes $n$ and number of eyes $m.$ The relationship can be expressed as $v = k n^a m^b$ centimeters per hour, where $k,$ $a,$ and $b$ are integer constants. In a population where all organisms have $5$ toes, $\log v = 4 + 2\log m;$ and in a population where all organisms have $25$ eyes, $\log v = 4 + 4\log n,$ where the logarithms are base $10.$ What is $k + a + b?$

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$24$

答案：C

知识点：对数方程组

难度评级：1380

小提示：

取对数： $\log v = \log k + a\log n + b\log m$ 。

Take logs: $\log v = \log k + a\log n + b\log m$

大提示：

令 $n = 5$ 得 $b = 2$ 且 $\log k + a\log 5 = 4$ ；令 $m = 25$ 得 $a = 4$ 。

Setting $n = 5$ gives $b = 2$ and $\log k + a\log 5 = 4$ ; setting $m = 25$ gives $a = 4$

解答：

取对数， $\log v = \log k + a\log n + b\log m$ 。

当 $n = 5$ 时，式子变为 $\log v = (\log k + a\log 5)$ $+ b\log m$ ，与 $4 + 2\log m$ 对应，所以 $b = 2$ ，且 $\log k + a\log 5 = 4$ 。

当 $m = 25$ 时，式子变为 $\log v = (\log k + b\log 25)$ $+ a\log n$ ，与 $4 + 4\log n$ 对应，所以 $a = 4$ ，且 $\log k + 2\log 25 = 4$ 。

因此 $\log k = 4 - \log 625$ $= \log\dfrac{10000}{625}$ $= \log 16$ ，所以 $k = 16$ 。于是 $k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22$ 。

因此，正确答案是 C。

Taking logarithms, $\log v = \log k + a\log n + b\log m.$

With $n = 5,$ this reads $\log v = (\log k + a\log 5)$ $+ b\log m,$ matching $4 + 2\log m,$ so $b = 2$ and $\log k + a\log 5 = 4.$

With $m = 25,$ it reads $\log v = (\log k + b\log 25)$ $+ a\log n,$ matching $4 + 4\log n,$ so $a = 4$ and $\log k + 2\log 25 = 4.$

Then $\log k = 4 - \log 625$ $= \log\dfrac{10000}{625}$ $= \log 16,$ so $k = 16.$ Hence $k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 7 题

答案：C

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

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