Question

求下列和的值：

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}\text{？}$

What is the value of

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

$\dfrac{3}{4}$

$1 - \dfrac{1}{\log_2 255}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{15}{16}$

$1$

答案：C

知识点：裂项相消对数

难度评级：1420

小提示：

写成 $\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ $= \log_2(n+1) - \log_2 n$ 。

Write $\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ $= \log_2(n+1) - \log_2 n$

大提示：

若 $a_n = \log_2 n$ ，每一项就变成 $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$ 。

With $a_n = \log_2 n,$ each term becomes $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$

解答：

令 $a_n = \log_2 n$ 。分子是 $a_{n+1} - a_n$ ，所以 $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$ 。从 $n = 2$ 到 $255$ 裂项相消，得到 $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $a_n = \log_2 n.$ The numerator equals $a_{n+1} - a_n,$ so each term is $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Telescoping from $n = 2$ to $255$ leaves $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 7 题

答案：C

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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