Question

对实数 $x$ 和 $y$ ， $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 的最小可能值是多少？

What is the least possible value of $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ for real numbers $x$ and $y?$

$0$

$\dfrac14$

$\dfrac12$

$1$

$2$

答案：D

知识点：代数变形因式分解最优化

难度评级：1530

小提示：

完全展开；交叉项 $-2xy$ 和 $+2xy$ 会抵消

Expand fully; the cross terms $-2xy$ and $+2xy$ cancel

大提示：

表达式等于 $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ ，两个因子都至少为 $1$ 。

The expression equals $(x^2 + 1)(y^2 + 1),$ a product of two factors each at least $1$

解答：

展开得 $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1\text{。} \end{aligned}$ 这可因式分解为 $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ 。

每个因子都至少为 $1$ ，所以乘积至少为 $1$ ，且当 $x = y = 0$ 时取到等号。

因此，正确答案是 D。

Expanding, $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{aligned}$ This factors as $(x^2 + 1)(y^2 + 1).$

Each factor is at least $1,$ so the product is at least $1,$ with equality when $x = y = 0.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring 第 7 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题