Question

符号 $R_k$ 表示一个十进制整数，它由连续 $k$ 个数字一组成。例如， $R_3=111$ 、 $R_5=11111$ 等。用 $R_{24}$ 除以 $R_4$ ，所得商 $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ 是一个十进制表示中只含一和零的整数。 $Q$ 中零的个数是

The symbol $R_k$ stands for an integer whose base-ten representation is a sequence of $k$ ones. For example, $R_3=111,$ $R_5=11111,$ etc. When $R_{24}$ is divided by $R_4,$ the quotient $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ is an integer whose base-ten representation is a sequence containing only ones and zeros. The number of zeros in $Q$ is

$10$

$11$

$12$

$13$

$15$

答案：E

知识点：repunits geometric series 位值

难度评级：1500

小提示：

使用 $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$ 。

Use $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$

大提示：

商中有六个一，相邻两个一相隔四个位值。

The quotient has six ones, each four places apart

解答：

将这 $24$ 个数字每四个分为一组，得到 $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right) \end{aligned}\text{。}$ 因此 $Q$ 中有六个一，每相邻两个一之间有三个零。所以共有 $5\cdot3=15$ 个零。故正确答案是 E。

Grouping the $24$ digits into six blocks of four gives $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}$ Thus $Q$ has six ones, with three zeros between each consecutive pair. It therefore has $5\cdot3=15$ zeros. Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 第 7 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题