Question

El símbolo $R_k$ representa un entero cuya escritura en base diez es una sucesión de $k$ unos. Por ejemplo, $R_3=111,$ $R_5=11111,$ etc. Al dividir $R_{24}$ entre $R_4,$ el cociente $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ es un entero cuya escritura en base diez contiene solamente unos y ceros. El número de ceros en $Q$ es

The symbol $R_k$ stands for an integer whose base-ten representation is a sequence of $k$ ones. For example, $R_3=111,$ $R_5=11111,$ etc. When $R_{24}$ is divided by $R_4,$ the quotient $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ is an integer whose base-ten representation is a sequence containing only ones and zeros. The number of zeros in $Q$ is

$10$

$11$

$12$

$13$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:repunits geometric series valor posicional

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$

Use $R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)$

Pista grande:

El cociente tiene seis unos, separados de cuatro en cuatro posiciones

The quotient has six ones, each four places apart

Solución:

Al agrupar los $24$ dígitos en seis bloques de cuatro se obtiene $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}$ Así, $Q$ tiene seis unos, con tres ceros entre cada par consecutivo. Por lo tanto, tiene $5\cdot3=15$ ceros. La respuesta correcta es E.

Grouping the $24$ digits into six blocks of four gives $\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}$ Thus $Q$ has six ones, with three zeros between each consecutive pair. It therefore has $5\cdot3=15$ zeros. Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 Problema 7

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años