Question

En $\triangle ABC,$ $\angle A=100^\circ,$ $\angle B=50^\circ,$ $\angle C=30^\circ,$ $AH$ es una altura y $BM$ una mediana. Entonces $\angle MHC=$

In $\triangle ABC,$ $\angle A=100^\circ,$ $\angle B=50^\circ,$ $\angle C=30^\circ,$ $AH$ is an altitude, and $BM$ is a median. Then $\angle MHC=$

$15^\circ$

$22.5^\circ$

$30^\circ$

$40^\circ$

$45^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)altura persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Compara los cambios horizontal y vertical de $H$ al punto medio $M$

Compare the horizontal and vertical changes from $H$ to midpoint $M$

Pista grande:

Ambos son la mitad de los catetos correspondientes del triángulo rectángulo $AHC$

Both changes are half the corresponding legs of right triangle $AHC$

Solución:

Como $M$ es punto medio de $AC,$ los cambios de $H$ a $M$ son, en sentido horizontal, $\frac{HC}{2},$ y, en sentido vertical, $\frac{AH}{2}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}$ Así, $\angle MHC=\angle C=30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $M$ is the midpoint of $AC,$ the horizontal change from $H$ to $M$ is $\frac{HC}{2},$ while the vertical change is $\frac{AH}{2}.$ Thus $\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}$ Hence $\angle MHC=\angle C=30^\circ.$

Thus the correct answer is C.

1989 AMC 12 Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años