Question

En la figura de abajo, $WXYZ$ es un rectángulo con $WX = 4$ y $WZ = 8.$ El punto $M$ está sobre $\overline{XY},$ el punto $A$ está sobre $\overline{YZ},$ y $\angle WMA$ es un ángulo recto. Las áreas de $\triangle WXM$ y $\triangle WAZ$ son iguales. ¿Cuál es el área de $\triangle WMA$ ?

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX = 4$ and $WZ = 8.$ Point $M$ lies on $\overline{XY},$ point $A$ lies on $\overline{YZ},$ and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Coloca $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ con $M = (m, 0)$ y $A = (8, a)$ .

Place $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ and $A = (8, a)$

Pista grande:

El ángulo recto da $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ y la condición de áreas iguales da una segunda ecuación; despeja $m$ y $a$ .

The right angle gives $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ and the equal-area condition gives a second equation; solve for $m$ and $a$

Solución:

Tomemos $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ con $M = (m, 0)$ sobre $\overline{XY}$ y $A = (8, a)$ sobre $\overline{YZ}.$

Como $\angle WMA = 90^\circ,$ $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0,$ así que $4a = m(8-m).$ Las áreas dan $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ y $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a).$ Al igualarlas se obtiene $m = 8 - 2a.$

Al sustituir $a = \tfrac{8-m}{2}$ en $4a = m(8-m)$ se obtiene $2(8-m) = m(8-m),$ así que $m = 2$ y $a = 3.$ La otra raíz algebraica, $m=8,$ da $M=A=Y$ y el ángulo $\angle WMA$ no está definido, por lo que no es válida. Entonces, con $W = (0,4),$ $M = (2,0),$ $A = (8,3),$ $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Set $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ on $\overline{XY}$ and $A = (8, a)$ on $\overline{YZ}.$

Since $\angle WMA = 90^\circ,$ $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0,$ so $4a = m(8-m).$ The areas give $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ and $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a).$ Setting these equal yields $m = 8 - 2a.$

Substituting $a = \tfrac{8-m}{2}$ into $4a = m(8-m)$ gives $2(8-m) = m(8-m),$ so $m = 2$ and $a = 3.$ The other algebraic root, $m=8,$ gives $M=A=Y$ and no defined angle $\angle WMA,$ so it is invalid. Then with $W = (0,4),$ $M = (2,0),$ $A = (8,3),$ $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años