Question

Sea $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ ¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de $N$ y la suma de los divisores pares de $N$ ?

Let $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1:16$

$1:15$

$1:14$

$1:8$

$1:3$

Halla la potencia exacta de $2$ que divide a $N$

Find the exact power of $2$ dividing $N$

Si $M$ es la parte impar de $N$ y $2^k$ la parte par, cada divisor par es $2^j$ por un divisor impar

If $M$ is the odd part of $N$ and $2^k$ the even part, every even divisor is $2^j$ times an odd divisor

Factorizando, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ y $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ así que $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Sea $M$ la parte impar $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ La suma de todos los divisores es $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

Los divisores impares suman $\sigma(M),$ así que los divisores pares suman $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

La razón es $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ and $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ so $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Let $M$ be the odd part $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ The sum of all divisors is $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

The odd divisors sum to $\sigma(M),$ so the even divisors sum to $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

The ratio is $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Thus, the correct answer is C.