Soluciones del 2021 AMC 12B Spring

1.

¿Cuántos valores enteros de $x$ satisfacen $|x| \lt 3\pi$ ?

How many integer values of $x$ satisfy $|x| \lt 3\pi?$

$9$

$10$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:valor absoluto estimación

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

$3\pi$ es un poco mayor que $9$

$3\pi$ is a little more than $9$

Pista grande:

Cuenta los enteros desde $-9$ hasta $9$ , ambos incluidos

Count the integers from $-9$ to $9$ inclusive

Solución:

Como $3\pi \approx 9.42,$ la desigualdad $|x| \lt 3\pi$ significa $-9.42 \lt x \lt 9.42.$

Los enteros en ese rango van desde $-9$ hasta $9,$ lo que da $19$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $3\pi \approx 9.42,$ the inequality $|x| \lt 3\pi$ means $-9.42 \lt x \lt 9.42.$

The integers in this range run from $-9$ to $9,$ giving $19$ values.

Thus, the correct answer is D.

2.

En un concurso de matemáticas, $57$ estudiantes llevan camiseta azul y otros $75$ estudiantes llevan camiseta amarilla. Los $132$ estudiantes se agrupan en $66$ parejas. En exactamente $23$ de estas parejas, ambos estudiantes llevan camiseta azul. ¿En cuántas parejas ambos estudiantes llevan camiseta amarilla?

At a math contest, $57$ students are wearing blue shirts, and another $75$ students are wearing yellow shirts. The $132$ students are assigned into $66$ pairs. In exactly $23$ of these pairs, both students are wearing blue shirts. In how many pairs are both students wearing yellow shirts?

$23$

$32$

$37$

$41$

$64$

Conceptos:conteo básico paridad

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Las $23$ parejas totalmente azules usan $46$ estudiantes azules

The $23$ all-blue pairs use $46$ blue students

Pista grande:

Cuenta los estudiantes azules que quedan en parejas mixtas y luego quita esa misma cantidad de estudiantes amarillos

Count the blue students left in mixed pairs, then remove that many yellow students

Solución:

Las $23$ parejas totalmente azules corresponden a $46$ estudiantes azules, dejando $57 - 46 = 11$ estudiantes azules.

Cada uno de esos $11$ estudiantes azules debe emparejarse con un estudiante amarillo, así que hay $11$ parejas mixtas, que usan $11$ estudiantes amarillos.

Los $75 - 11 = 64$ estudiantes amarillos restantes forman $64 \div 2 = 32$ parejas totalmente amarillas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $23$ all-blue pairs account for $46$ blue students, leaving $57 - 46 = 11$ blue students.

Each of those $11$ blue students must be paired with a yellow student, so there are $11$ mixed pairs, using $11$ yellow students.

The remaining $75 - 11 = 64$ yellow students form $64 \div 2 = 32$ all-yellow pairs.

Thus, the correct answer is B.

3.

Supongamos que $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.$

¿Cuál es el valor de $x$ ?

Suppose $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.$

What is the value of $x?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{14}{15}$

$\dfrac{37}{38}$

$\dfrac{52}{53}$

Conceptos:fracción continua trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Quita una capa a la vez, empezando por restar $2$ a $\dfrac{144}{53}$

Peel off one layer at a time, starting by subtracting $2$ from $\dfrac{144}{53}$

Pista grande:

Después de $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ toma recíprocos y continúa hacia adentro

After $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ take reciprocals and continue inward

Solución:

Trabajando de afuera hacia adentro, $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ así que la fracción interior vale $\dfrac{38}{53}.$

Su recíproco da $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},$ así que $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.$

Entonces $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},$ así que $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},$ lo que da $3+x=\dfrac{15}{4}.$

Por lo tanto $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working from the outside in, $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ so the inner fraction equals $\dfrac{38}{53}.$

Its reciprocal gives $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},$ so $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.$

Then $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},$ so $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},$ giving $3+x=\dfrac{15}{4}.$

Therefore $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is A.

4.

La señora Blackwell aplica un examen a dos clases. La media de las puntuaciones de los estudiantes de la clase de la mañana es $84,$ y la media de la clase de la tarde es $70.$ La razón entre el número de estudiantes de la clase de la mañana y el de la clase de la tarde es $\dfrac{3}{4}.$ ¿Cuál es la media de las puntuaciones de todos los estudiantes?

Ms. Blackwell gives an exam to two classes. The mean of the scores of the students in the morning class is $84,$ and the afternoon class’s mean score is $70.$ The ratio of the number of students in the morning class to the number of students in the afternoon class is $\dfrac{3}{4}.$ What is the mean of the scores of all the students?

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

Conceptos:media razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Toma $3$ estudiantes por la mañana y $4$ por la tarde

Take $3$ students in the morning and $4$ in the afternoon

Pista grande:

La media global es $\dfrac{3\cdot 84+4\cdot 70}{7}$

The overall mean is $\dfrac{3\cdot 84+4\cdot 70}{7}$

Solución:

Supongamos que hay $3$ estudiantes en la clase de la mañana y $4$ en la de la tarde.

El total de todas las puntuaciones es $3\cdot 84+4\cdot 70$ $=252+280$ $=532.$

La media global es $\dfrac{532}{7}=76.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Suppose there are $3$ students in the morning class and $4$ in the afternoon class.

The total of all scores is $3\cdot 84+4\cdot 70$ $=252+280$ $=532.$

The overall mean is $\dfrac{532}{7}=76.$

Thus, the correct answer is C.

5.

El punto $P(a,b)$ del plano $xy$ se rota primero $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(1,5)$ y luego se refleja respecto a la recta $y=-x.$ La imagen de $P$ tras estas dos transformaciones está en $(-6,3).$ ¿Cuánto vale $b-a$ ?

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y=-x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b-a?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:transformación trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Deshaz las transformaciones: reflejar $(-6,3)$ respecto a $y=-x$ invierte el último paso

Undo the transformations: reflecting $(-6,3)$ about $y=-x$ reverses the last step

Pista grande:

Reflejar $(x,y)$ respecto a $y=-x$ da $(-y,-x);$ una rotación de $90^\circ$ alrededor de $(1,5)$ envía $(a,b)$ a $(6-b,\,4+a)$

Reflecting $(x,y)$ about $y=-x$ gives $(-y,-x);$ a $90^\circ$ rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(6-b,\,4+a)$

Solución:

Una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de $(1,5)$ envía $(a,b)$ a $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflejar eso respecto a $y=-x$ (que envía $(x,y)$ a $(-y,-x)$ ) da $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Igualando esto a $(-6,3)$ se obtiene $-4-a=-6$ y $b-6=3,$ así que $a=2$ y $b=9.$

Por lo tanto $b-a=9-2=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflecting that about $y=-x$ (which maps $(x,y)$ to $(-y,-x)$ ) gives $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Setting this equal to $(-6,3)$ gives $-4-a=-6$ and $b-6=3,$ so $a=2$ and $b=9.$

Therefore $b-a=9-2=7.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Un cono invertido con radio de base $12$ cm y altura $18$ cm está lleno de agua. El agua se vierte en un cilindro alto cuya base horizontal tiene radio de $24$ cm. ¿Cuál es la altura, en centímetros, del agua en el cilindro?

An inverted cone with base radius $12$ cm and height $18$ cm is full of water. The water is poured into a tall cylinder whose horizontal base has a radius of $24$ cm. What is the height in centimeters of the water in the cylinder?

$1.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

Conceptos:cono cilindro volumen

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

El volumen de un cono es $\dfrac13\pi r^2 h$ y el de un cilindro es $\pi r^2 h$

The volume of a cone is $\dfrac13\pi r^2 h$ and of a cylinder is $\pi r^2 h$

Pista grande:

Iguala el volumen del cono a $\pi\cdot 24^2\cdot h$ y despeja $h$

Set the cone’s volume equal to $\pi\cdot 24^2\cdot h$ and solve for $h$

Solución:

El cono contiene $\dfrac13\pi(12)^2(18)=864\pi$ centímetros cúbicos de agua.

Vertida en el cilindro, esta llena hasta una altura $h$ donde $\pi(24)^2 h=864\pi.$

Entonces $576h=864,$ así que $h=1.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The cone holds $\dfrac13\pi(12)^2(18)=864\pi$ cubic centimeters of water.

Poured into the cylinder, this fills to height $h$ where $\pi(24)^2 h=864\pi.$

Then $576h=864,$ so $h=1.5.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Sea $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ ¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de $N$ y la suma de los divisores pares de $N$ ?

Let $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1:16$

$1:15$

$1:14$

$1:8$

$1:3$

Conceptos:factorización en primos suma de factores

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Halla la potencia exacta de $2$ que divide a $N$

Find the exact power of $2$ dividing $N$

Pista grande:

Si $M$ es la parte impar de $N$ y $2^k$ la parte par, cada divisor par es $2^j$ por un divisor impar

If $M$ is the odd part of $N$ and $2^k$ the even part, every even divisor is $2^j$ times an odd divisor

Solución:

Factorizando, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ y $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ así que $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Sea $M$ la parte impar $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ La suma de todos los divisores es $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

Los divisores impares suman $\sigma(M),$ así que los divisores pares suman $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

La razón es $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ and $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ so $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Let $M$ be the odd part $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ The sum of all divisors is $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

The odd divisors sum to $\sigma(M),$ so the even divisors sum to $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

The ratio is $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Tres rectas paralelas igualmente espaciadas cortan una circunferencia, creando tres cuerdas de longitudes $38,$ $38,$ y $34.$ ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,$ $38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\tfrac{1}{2}$

$6$

$6\tfrac{1}{2}$

$7$

$7\tfrac{1}{2}$

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Cuerdas iguales equidistan del centro, así que las dos cuerdas de $38$ están a alturas $\pm\tfrac{d}{2}$

Equal chords are equidistant from the center, so the two $38$ chords sit at heights $\pm\tfrac{d}{2}$

Pista grande:

Con separación $d,$ usa $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ y $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$

With spacing $d,$ use $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$

Solución:

Coloca el centro a la altura $0.$ Dos cuerdas iguales están a la misma distancia del centro, así que las tres rectas igualmente espaciadas están a las alturas $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ con las dos cuerdas de $38$ en $\pm\tfrac{d}{2}$ y la cuerda de $34$ en $\tfrac{3d}{2}.$

Las relaciones de las semicuerdas dan $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ y $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Restando, $2d^2=19^2-17^2=72,$ así que $d^2=36$ y $d=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the center at height $0.$ Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ with the two $38$ -chords at $\pm\tfrac{d}{2}$ and the $34$ -chord at $\tfrac{3d}{2}.$

Half-chord relations give $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Subtracting, $2d^2=19^2-17^2=72,$ so $d^2=36$ and $d=6.$

Thus, the correct answer is B.

9.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

What is the value of the following expression? $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

$0$

$1$

$\dfrac{5}{4}$

$2$

$\log_2 5$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40,$ y de forma similar para el otro recíproco

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40,$ and similarly for the other reciprocal

Pista grande:

Escribe todo en términos de $t=\log_2 5,$ ya que $\log_2 80=4+t,$ etc.

Write everything in terms of $t=\log_2 5,$ since $\log_2 80=4+t,$ etc.

Solución:

Usando $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ y $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ la expresión se convierte en $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Sea $t=\log_2 5.$ Entonces $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

El valor es $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ and $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ the expression becomes $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Let $t=\log_2 5.$ Then $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

The value is $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Se seleccionan dos números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ de modo que la suma de los $35$ números restantes sea el producto de estos dos números. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?

Two distinct numbers are selected from the set $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ so that the sum of the remaining $35$ numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

$5$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

El conjunto completo suma $703;$ si los dos números elegidos son $a$ y $b,$ entonces $703-a-b=ab$

The full set sums to $703;$ if the two chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab$

Pista grande:

Reordena a $(a+1)(b+1)=704$ y factoriza

Rearrange to $(a+1)(b+1)=704$ and factor

Solución:

La suma $1+2+\cdots+37=703.$ Si los números elegidos son $a$ y $b,$ entonces $703-a-b=ab.$

Así que $ab+a+b=703,$ y sumando $1$ se obtiene $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

Necesitamos factores $a+1,b+1$ entre $2$ y $38.$ El par $22\cdot 32=704$ funciona, dando $a=21,$ $b=31.$

Su diferencia es $31-21=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum $1+2+\cdots+37=703.$ If the chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab.$

So $ab+a+b=703,$ and adding $1$ gives $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

We need factors $a+1,b+1$ between $2$ and $38.$ The pair $22\cdot 32=704$ works, giving $a=21,$ $b=31.$

Their difference is $31-21=10.$

Thus, the correct answer is E.

11.

El triángulo $ABC$ tiene $AB=13,$ $BC=14,$ y $AC=15.$ Sea $P$ el punto en $\overline{AC}$ tal que $PC=10.$ Hay exactamente dos puntos $D$ y $E$ en la recta $BP$ tales que los cuadriláteros $ABCD$ y $ABCE$ son trapecios. ¿Cuál es la distancia $DE$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=13,$ $BC=14,$ and $AC=15.$ Let $P$ be the point on $\overline{AC}$ such that $PC=10.$ There are exactly two points $D$ and $E$ on line $BP$ such that quadrilaterals $ABCD$ and $ABCE$ are trapezoids. What is the distance $DE?$

$\dfrac{42}{5}$

$6\sqrt2$

$\dfrac{84}{5}$

$12\sqrt2$

$18$

Conceptos:geometría analítica rectas paralelas trapecio

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Coloca $A=(0,0),$ $C=(15,0);$ entonces $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ y $P=(5,0)$

Place $A=(0,0),$ $C=(15,0);$ then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ and $P=(5,0)$

Pista grande:

Un trapecio requiere $CD\parallel AB,$ el otro requiere $AE\parallel BC;$ halla dónde corta cada recta paralela a la recta $BP$

One trapezoid needs $CD\parallel AB,$ the other needs $AE\parallel BC;$ find where each parallel line meets line $BP$

Solución:

Coloca $A=(0,0)$ y $C=(15,0).$ Entonces $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ y como $PC=10,$ $P=(5,0).$ La recta $BP$ tiene pendiente $7,$ así que es $y=7(x-5).$

Para que $ABCD$ sea un trapecio con $D$ en la recta $BP,$ toma $CD\parallel AB.$ La recta por $C$ paralela a $AB$ corta a la recta $BP$ en $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

Para $ABCE$ con $E$ en la recta $BP,$ toma $AE\parallel BC.$ La recta por $A$ paralela a $BC$ corta a la recta $BP$ en $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Las diferencias entre sus coordenadas son $\tfrac{12}{5}$ y $\tfrac{84}{5},$ por lo que $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place $A=(0,0)$ and $C=(15,0).$ Then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ and since $PC=10,$ $P=(5,0).$ Line $BP$ has slope $7,$ so it is $y=7(x-5).$

For $ABCD$ to be a trapezoid with $D$ on line $BP,$ take $CD\parallel AB.$ The line through $C$ parallel to $AB$ meets line $BP$ at $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

For $ABCE$ with $E$ on line $BP,$ take $AE\parallel BC.$ The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $BP$ at $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Their coordinate differences are $\tfrac{12}{5}$ and $\tfrac{84}{5},$ so $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Supongamos que $S$ es un conjunto finito de enteros positivos. Si se elimina de $S$ el mayor entero de $S,$ entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es $32.$ Si también se elimina el menor entero de $S$ entonces el valor promedio de los enteros restantes es $35.$ Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a $40.$ El mayor entero del conjunto original $S$ es $72$ mayor que el menor entero de $S.$ ¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto $S$ ?

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers. If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$ What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $n=|S|,$ el total $T,$ el mayor $M,$ el menor $L;$ escribe cada promedio como una ecuación

Let $n=|S|,$ total $T,$ greatest $M,$ least $L;$ write each average as an equation

Pista grande:

Restar $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ de $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ da $M-L=8(n-1)$

Subtracting $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ from $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ gives $M-L=8(n-1)$

Solución:

Sea $n=|S|,$ sea $T$ el total, $M$ el mayor y $L$ el menor. Entonces $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ y $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Restando la primera de la tercera: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Como $M-L=72,$ obtenemos $n-1=9,$ así que $n=10.$

Entonces $T-M=288$ y $T-L=360.$ La ecuación del medio da $T-M-L=35\cdot 8=280,$ así que $L=288-280=8$ y $M=80.$

Así $T=288+80=368,$ y el promedio es $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $n=|S|,$ let $T$ be the total, $M$ the greatest, and $L$ the least. Then $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ and $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Subtracting the first from the third: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Since $M-L=72,$ we get $n-1=9,$ so $n=10.$

Then $T-M=288$ and $T-L=360.$ The middle equation gives $T-M-L=35\cdot 8=280,$ so $L=288-280=8$ and $M=80.$

Thus $T=288+80=368,$ and the average is $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Thus, the correct answer is D.

13.

¿Cuántos valores de $\theta$ en el intervalo $0\lt\theta\le 2\pi$ satisfacen la siguiente ecuación? $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0$

How many values of $\theta$ in the interval $0\lt\theta\le 2\pi$ satisfy the following equation? $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:trigonometría enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El término $5\cos 3\theta$ oscila entre $-5$ y $5,$ dominando al lentamente variable $1-3\sin\theta$

The term $5\cos 3\theta$ swings between $-5$ and $5,$ dominating the slowly varying $1-3\sin\theta$

Pista grande:

Comprueba $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta$ en los múltiplos de $60^\circ,$ y luego usa $f'$ para descartar raíces adicionales

Check $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta$ at multiples of $60^\circ,$ then use $f'$ to rule out extra roots

Solución:

Sea $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.$ En $\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi,$ sus signos alternan $+,-,+,-,+,-,+.$ Por tanto, hay al menos una raíz en cada uno de los seis intervalos intermedios.

En cualquier raíz, $5\cos3\theta=3\sin\theta-1.$ En consecuencia, $\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}$ De aquí, $15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|.$ En el intervalo $(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}),$ el signo de $f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta$ es, en cada raíz, $(-1)^{k+1}$ .

Así, todas las raíces de un mismo intervalo cruzan el eje en la misma dirección. Si hubiera dos, tendría que haber entre ellas otro cruce en la dirección opuesta. Por tanto, cada intervalo contiene exactamente una raíz y hay $6$ soluciones en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.$ At $\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi,$ its signs alternate $+,-,+,-,+,-,+.$ Therefore there is at least one root in each of the six intervening intervals.

At any root, $5\cos3\theta=3\sin\theta-1.$ Consequently $\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}$ Hence $15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|.$ In the interval $(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}),$ the sign of $f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta$ is therefore $(-1)^{k+1}$ at every root.

Thus every root in a given interval crosses the axis in the same direction. Two such roots would require an intervening crossing in the opposite direction, so each interval has exactly one root. There are $6$ solutions in all.

Thus, the correct answer is D.

14.

Sea $ABCD$ un rectángulo y sea $\overline{DM}$ un segmento perpendicular al plano de $ABCD.$ Supongamos que $\overline{DM}$ tiene longitud entera, y que las longitudes de $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ y $\overline{MB}$ son enteros positivos impares consecutivos (en ese orden). ¿Cuál es el volumen de la pirámide $MABCD$ ?

Let $ABCD$ be a rectangle and let $\overline{DM}$ be a segment perpendicular to the plane of $ABCD.$ Suppose that $\overline{DM}$ has integer length, and the lengths of $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ and $\overline{MB}$ are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid $MABCD?$

$24\sqrt5$

$60$

$28\sqrt5$

$66$

$8\sqrt{70}$

Conceptos:Geometría 3D Teorema de Pitágoras pirámide

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Con $D$ en el origen, $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$

With $D$ at the origin, $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$

Pista grande:

Así $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;$ con $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ despeja $k$ y $DM$

So $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;$ with $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ solve for $k$ and $DM$

Solución:

Coloquemos $D$ en el origen, con $A,$ $C$ sobre los lados del rectángulo y $M$ directamente encima de $D.$ Entonces $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ y $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Por tanto, $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Escribiendo $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ obtenemos $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

Si $DM=t$ es un entero positivo, entonces $(k-2)^2-t^2=16,$ así que $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ El único par positivo de factores de la misma paridad que da $t>0$ es $(2,8),$ del cual se obtiene $k=7$ y $t=3.$ Por tanto, $AD^2=49-9=40$ y $CD^2=81-9=72.$

El área de la base es $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ y el volumen es $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Así, la respuesta correcta es A.

Place $D$ at the origin with $A,$ $C$ along the rectangle’s edges and $M$ directly above $D.$ Then $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ and $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Thus $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Writing $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ we get $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

If $DM=t$ is a positive integer, then $(k-2)^2-t^2=16,$ so $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ The only positive same-parity factor pair giving $t>0$ is $(2,8),$ which yields $k=7$ and $t=3.$ Thus $AD^2=49-9=40$ and $CD^2=81-9=72.$

The base area is $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ and the volume is $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Thus, the correct answer is A.

15.

La figura está construida con $11$ segmentos de recta, cada uno de longitud $2.$ El área del pentágono $ABCDE$ puede escribirse como $\sqrt m+\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:circle geometry geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada punto interior está a distancia $2$ de tres vértices exteriores consecutivos, así que es su circuncentro

Each interior point is distance $2$ from three consecutive outer vertices, so it is their circumcenter

Pista grande:

Como las cuerdas $AB$ y $BC$ tienen longitud igual al radio $2,$ se tiene $AC=2\sqrt3;$ luego usa coordenadas simétricas

Since chords $AB$ and $BC$ have length equal to the radius $2,$ $AC=2\sqrt3;$ then use symmetric coordinates

Solución:

El punto interior derecho está a distancia $2$ de $A,$ $B$ y $C,$ así que estos tres puntos están en un círculo de radio $2.$ Las cuerdas $AB$ y $BC$ también miden $2,$ por lo que cada una subtiende $60^\circ$ en el centro. Así, $AC=2\sqrt3.$ La otra mitad es, de manera similar, su imagen especular.

Tomemos $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ y $A=(0,\sqrt{11});$ entonces $AC=AD=2\sqrt3.$ La otra intersección de los círculos de radio $2$ centrados en $A$ y $C$ es $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),$ y $E$ es su reflexión respecto del eje $y$ .

Al aplicar la fórmula del zapato a $A,B,C,D,E$ , obtenemos $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,$ que es igual a $\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

Por tanto, $m+n=11+12=23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The right interior point is distance $2$ from $A,$ $B,$ and $C,$ so these three points lie on a circle of radius $2.$ Chords $AB$ and $BC$ also have length $2,$ so each subtends $60^\circ$ at the center. Thus $AC=2\sqrt3.$ Similarly, the other half is its mirror image.

Put $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $A=(0,\sqrt{11});$ then $AC=AD=2\sqrt3.$ The other intersection of the radius- $2$ circles centered at $A$ and $C$ is $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),$ and $E$ is its reflection across the $y$ -axis.

Applying the shoelace formula to $A,B,C,D,E$ gives $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,$ which equals $\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

So $m+n=11+12=23.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Sea $g(x)$ un polinomio con coeficiente principal $1,$ cuyas tres raíces son los recíprocos de las tres raíces de $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ donde $1\lt a\lt b\lt c.$ ¿Cuánto vale $g(1)$ en términos de $a,$ $b,$ y $c$ ?

Let $g(x)$ be a polynomial with leading coefficient $1,$ whose three roots are the reciprocals of the three roots of $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ where $1\lt a\lt b\lt c.$ What is $g(1)$ in terms of $a,$ $b,$ and $c?$

$\dfrac{1+a+b+c}{c}$

$1+a+b+c$

$\dfrac{1+a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{1+a+b+c}{a+b+c}$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Si $f$ tiene raíces $r,s,t,$ entonces $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

If $f$ has roots $r,s,t,$ then $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

Pista grande:

Esto es igual a $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};$ relaciona el numerador con $f(1)$ y el denominador con $c$

This equals $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};$ relate the numerator to $f(1)$ and the denominator to $c$

Solución:

Sea $f$ con raíces $r,s,t.$ Como $g$ es mónico con raíces $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,$ $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}$

Ahora $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c,$ así que $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c).$ Además $rst=-c.$

Por lo tanto $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $f$ have roots $r,s,t.$ Since $g$ is monic with roots $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,$ $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}$

Now $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c,$ so $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c).$ Also $rst=-c.$

Therefore $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}.$

Thus, the correct answer is A.

17.

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases paralelas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ con $AB\gt CD.$ Los segmentos que van desde un punto interior de $ABCD$ a los vértices dividen el trapecio en cuatro triángulos cuyas áreas son $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ empezando por el triángulo con base $\overline{CD}$ y avanzando en sentido horario como se muestra en el diagrama de abajo. ¿Cuál es la razón $\dfrac{AB}{CD}$ ?

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid having parallel bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ with $AB\gt CD.$ Line segments from a point inside $ABCD$ to the vertices divide the trapezoid into four triangles whose areas are $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ starting with the triangle with base $\overline{CD}$ and moving clockwise as shown in the diagram below. What is the ratio $\dfrac{AB}{CD}?$

$3$

$2+\sqrt2$

$1+\sqrt6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

Conceptos:trapecio razón de áreas cuadrática

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Los triángulos sobre las bases tienen áreas $4$ (base $AB$ ) y $2$ (base $CD$ ); escríbelos como $\tfrac12 a h_a$ y $\tfrac12 b h_b$

The triangles on the bases have areas $4$ (base $AB$ ) and $2$ (base $CD$ ); write them as $\tfrac12 a h_a$ and $\tfrac12 b h_b$

Pista grande:

Con $a h_a=8,$ $b h_b=4,$ y $(a+b)(h_a+h_b)=28,$ los términos cruzados $a h_b$ y $b h_a$ satisfacen una cuadrática

With $a h_a=8,$ $b h_b=4,$ and $(a+b)(h_a+h_b)=28,$ the cross terms $a h_b$ and $b h_a$ satisfy a quadratic

Solución:

Sea $AB=a,$ $CD=b,$ y sea el punto interior a alturas $h_a$ de $AB$ y $h_b$ de $CD.$ Los triángulos de las bases dan $\tfrac12 a h_a=4$ y $\tfrac12 b h_b=2,$ así que $a h_a=8$ y $b h_b=4.$

El área total es $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),$ así que $(a+b)(h_a+h_b)=28.$ Desarrollando, $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,$ lo que da $a h_b+b h_a=16.$

Sea $u=a h_b$ y $v=b h_a.$ Entonces $u+v=16$ y $uv=(a h_a)(b h_b)=32,$ así que $u,v=8\pm 4\sqrt2.$

Finalmente $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $AB=a,$ $CD=b,$ and let the interior point be at heights $h_a$ from $AB$ and $h_b$ from $CD.$ The base triangles give $\tfrac12 a h_a=4$ and $\tfrac12 b h_b=2,$ so $a h_a=8$ and $b h_b=4.$

The total area is $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),$ so $(a+b)(h_a+h_b)=28.$ Expanding, $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,$ giving $a h_b+b h_a=16.$

Let $u=a h_b$ and $v=b h_a.$ Then $u+v=16$ and $uv=(a h_a)(b h_b)=32,$ so $u,v=8\pm 4\sqrt2.$

Finally $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Sea $z$ un número complejo que satisface $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.$ ¿Cuál es el valor de $z+\dfrac{6}{z}$ ?

Let $z$ be a complex number satisfying $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.$ What is the value of $z+\dfrac{6}{z}?$

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$4$

Conceptos:número complejo completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Sea $p=|z|^2$ y $s=z+\bar z;$ desarrolla cada módulo usando $|w|^2=w\bar w$

Let $p=|z|^2$ and $s=z+\bar z;$ expand every modulus using $|w|^2=w\bar w$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

The equation collapses to $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

Solución:

Sea $p=|z|^2=z\bar z$ y $s=z+\bar z.$ Entonces $|z+2|^2=p+2s+4,$ y $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1.$

Sustituyendo, $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31,$ lo que se simplifica a $p^2-12p+s^2+4s+40=0.$

Completando el cuadrado se obtiene $(p-6)^2+(s+2)^2=0,$ así que $p=6$ y $s=-2.$

Entonces $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $p=|z|^2=z\bar z$ and $s=z+\bar z.$ Then $|z+2|^2=p+2s+4,$ and $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1.$

Substituting, $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31,$ which simplifies to $p^2-12p+s^2+4s+40=0.$

Completing the square gives $(p-6)^2+(s+2)^2=0,$ so $p=6$ and $s=-2.$

Then $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Se lanzan dos dados justos, cada uno con al menos $6$ caras. En cada cara de cada dado está impreso un entero distinto desde $1$ hasta el número de caras de ese dado, inclusive. La probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\dfrac34$ de la probabilidad de obtener una suma de $10,$ y la probabilidad de obtener una suma de $12$ es $\dfrac{1}{12}.$ ¿Cuál es el menor número posible de caras de los dos dados combinados?

Two fair dice, each with at least $6$ faces are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from $1$ to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of $7$ is $\dfrac34$ of the probability of rolling a sum of $10,$ and the probability of rolling a sum of $12$ is $\dfrac{1}{12}.$ What is the least possible number of faces on the two dice combined?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:dados (probabilidad)optimización

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Con al menos $6$ caras cada uno, una suma de $7$ siempre tiene $6$ formas, así que una suma de $10$ tiene $8$ formas

With at least $6$ faces each, a sum of $7$ always has $6$ ways, so a sum of $10$ has $8$ ways

Pista grande:

Sean los dados con $a\le b$ caras; cuenta los resultados para las sumas $10$ y $12$ y usa $\text{formas}(12)=\tfrac{ab}{12}$

Let the dice have $a\le b$ faces; count outcomes for sums $10$ and $12$ and use $\text{ways}(12)=\tfrac{ab}{12}$

Solución:

Sean los dados de $a\le b$ caras. Como ambos tienen al menos $6$ caras, una suma de $7$ se obtiene de exactamente $6$ maneras, así que una suma de $10$ se obtiene de $6\div\tfrac34=8$ maneras.

El número de maneras de obtener $10$ es $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ Una suma de $12$ tiene probabilidad $\tfrac{1}{12},$ así que se obtiene de $\tfrac{ab}{12}$ maneras.

Tener $8$ resultados para una suma de $10$ exige $a\ge8$ y $b\ge9,$ de modo que necesariamente $a+b\ge17.$ Para $(a,b)=(8,9),$ una suma de $10$ tiene $8$ resultados, mientras que una suma de $12$ tiene los $6$ resultados en los que el primer dado muestra $3,4,\ldots,8.$ Como $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},$ se cumplen ambas condiciones y se alcanza la cota inferior $17$ .

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the dice have $a\le b$ faces. Since both have at least $6$ faces, a sum of $7$ occurs in exactly $6$ ways, so a sum of $10$ occurs in $6\div\tfrac34=8$ ways.

The number of ways to roll $10$ is $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ A sum of $12$ has probability $\tfrac{1}{12},$ so it occurs in $\tfrac{ab}{12}$ ways.

Having $8$ outcomes for a sum of $10$ requires $a\ge8$ and $b\ge9,$ so necessarily $a+b\ge17.$ For $(a,b)=(8,9),$ a sum of $10$ has $8$ outcomes, while a sum of $12$ has the $6$ outcomes with the first die showing $3,4,\ldots,8.$ Since $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},$ both conditions hold and the lower bound $17$ is attained.

Thus, the correct answer is B.

20.

Sean $Q(z)$ y $R(z)$ los únicos polinomios tales que $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ y el grado de $R$ es menor que $2.$ ¿Cuál es $R(z)$ ?

Let $Q(z)$ and $R(z)$ be the unique polynomials such that $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ and the degree of $R$ is less than $2.$ What is $R(z)?$

$-z$

$-1$

$2021$

$z+1$

$2z+1$

Conceptos:polinomio raíces de la unidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Módulo $z^2+z+1$ tenemos $z^3\equiv 1,$ ya que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

Modulo $z^2+z+1$ we have $z^3\equiv 1,$ since $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

Pista grande:

Reduce el exponente $2021$ módulo $3,$ y luego reduce $z^2$ usando $z^2\equiv -z-1$

Reduce the exponent $2021$ modulo $3,$ then reduce $z^2$ using $z^2\equiv -z-1$

Solución:

Como $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ y $2021=3\cdot 673+2,$ tenemos $z^{2021}\equiv z^2.$

Así que $z^{2021}+1\equiv z^2+1.$ Reduciendo aún más con $z^2\equiv -z-1,$ esto es $-z-1+1=-z.$

Por lo tanto $R(z)=-z.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ and $2021=3\cdot 673+2,$ we have $z^{2021}\equiv z^2.$

So $z^{2021}+1\equiv z^2+1.$ Reducing further with $z^2\equiv -z-1,$ this is $-z-1+1=-z.$

Therefore $R(z)=-z.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Sea $S$ la suma de todos los números reales positivos $x$ para los cuales $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Toma $\log_2$ en ambos lados para obtener $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

Take $\log_2$ of both sides to get $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

Pista grande:

$x=\sqrt2$ es una solución; analiza el signo de $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ para localizar la otra

$x=\sqrt2$ is one solution; analyze the sign of $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ to locate the other

Solución:

Tomando $\log_2,$ la ecuación se convierte en $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Sustituyendo $x=\sqrt2$ da $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ lo que se cumple, así que $x=\sqrt2$ es una solución.

Sea $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Entonces $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ y $f(4)\gt 0,$ así que hay una segunda raíz $x_0$ entre $2$ y $4.$

Para demostrar que no hay otras soluciones, divide la ecuación entre $2^x$ y considera $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ para $x\gt1.$ Su derivada tiene el signo de $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ una expresión estrictamente decreciente. Por tanto, $h$ primero crece y luego decrece, de modo que una recta horizontal corta su gráfica a lo sumo dos veces. Las dos raíces ya halladas son todas las soluciones. Como $2\lt x_0\lt4,$ se tiene $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

To prove there are no others, divide the equation by $2^x$ and consider $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ for $x\gt1.$ Its derivative has the sign of $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ a strictly decreasing expression. Thus $h$ increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since $2\lt x_0\lt4,$ we have $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Arjun y Beth juegan un juego en el que se turnan para quitar un ladrillo o dos ladrillos adyacentes de un “muro” entre un conjunto de varios muros de ladrillos, y los huecos pueden crear nuevos muros. Los muros tienen un ladrillo de alto. Por ejemplo, un conjunto de muros de tamaños $4$ y $2$ puede transformarse en cualquiera de los siguientes con un movimiento: $(3,2),$ $\ (2,1,2),$ $\ (4),$ $\ (4,1),$ $\ (2,2),$ o $(1,1,2).$

Arjun juega primero, y el jugador que quita el último ladrillo gana. ¿Para cuál configuración inicial existe una estrategia que garantiza la victoria de Beth?

Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one “wall” among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes $4$ and $2$ can be changed into any of the following by one move: $(3,2),$ $\ (2,1,2),$ $\ (4),$ $\ (4,1),$ $\ (2,2),$ or $(1,1,2).$

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?

$(6,1,1)$

$(6,2,1)$

$(6,2,2)$

$(6,3,1)$

$(6,3,2)$

Conceptos:juego combinatorio invariante

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Calcula el valor de Grundy de un solo muro de longitud $n,$ donde un movimiento quita $1$ o $2$ ladrillos adyacentes y puede dividir el muro

Compute the Grundy value of a single wall of length $n,$ where a move removes $1$ or $2$ adjacent bricks and may split the wall

Pista grande:

Beth (la segunda jugadora) gana exactamente cuando el XOR de los valores de Grundy de los muros es $0$

Beth (the second player) wins exactly when the XOR of the walls’ Grundy values is $0$

Solución:

Trata cada muro como un montón tipo Nim con un valor de Grundy. Un movimiento quita $1$ o $2$ ladrillos adyacentes, posiblemente dividiendo un muro en longitudes $a,b.$ Así, $g(n)$ es el mex de $g(a)\oplus g(b)$ para todos los casos con $a+b=n-1$ o $a+b=n-2.$

Empezando con $g(0)=0,$ esta recurrencia da $g(1),g(2),\ldots,g(6)$ iguales a $1,2,3,1,4,3,$ respectivamente.

La segunda jugadora Beth gana exactamente cuando el XOR de los valores de Grundy de los muros es $0.$ Revisando cada opción, solo $(6,2,1)$ da $g(6)\oplus g(2)\oplus g(1)$ $=3\oplus 2\oplus 1=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Treat each wall as a Nim-like heap with a Grundy value. A move removes $1$ or $2$ adjacent bricks, possibly splitting a wall into lengths $a,b.$ Thus $g(n)$ is the mex of $g(a)\oplus g(b)$ over $a+b=n-1$ or $a+b=n-2.$

Starting with $g(0)=0,$ this recurrence gives $g(1),g(2),\ldots,g(6)$ equal to $1,2,3,1,4,3,$ respectively.

The second player Beth wins exactly when the XOR of the walls’ Grundy values is $0.$ Checking each option, only $(6,2,1)$ gives $g(6)\oplus g(2)\oplus g(1)$ $=3\oplus 2\oplus 1=0.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Se lanzan tres bolas de forma aleatoria e independiente en contenedores numerados con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en el contenedor $i$ es $2^{-i}$ para $i=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Se permite más de una bola en cada contenedor. La probabilidad de que las bolas terminen equidistantes en contenedores distintos es $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. (Por ejemplo, las bolas están equidistantes si se lanzan a los contenedores $3,$ $17,$ y $10.$ ) ¿Cuánto vale $p+q$ ?

Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $i$ is $2^{-i}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins $3,$ $17,$ and $10.$ ) What is $p+q?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Conceptos:probabilidad básica sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Equidistantes significa que los contenedores son $n, n+d, n+2d$ para ciertos $n,d\ge 1;$ sus números suman $3(n+d)$

Evenly spaced means the bins are $n, n+d, n+2d$ for some $n,d\ge 1;$ their labels sum to $3(n+d)$

Pista grande:

Cada asignación ordenada así tiene probabilidad $2^{-3(n+d)},$ y hay $3!$ ordenamientos de las tres bolas

Each such ordered assignment has probability $2^{-3(n+d)},$ and there are $3!$ orderings of the three balls

Solución:

Los contenedores distintos y equidistantes forman una progresión aritmética $n,n+d,n+2d$ con $n,d\ge 1.$ Los tres números suman $3(n+d),$ así que una asignación fija de bolas a estos contenedores tiene probabilidad $2^{-3(n+d)}.$

Las tres bolas pueden ordenarse de $3!=6$ maneras, así que la probabilidad total es $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Como $\gcd(6,49)=1,$ obtenemos $p+q=6+49=55.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Evenly spaced distinct bins form an arithmetic progression $n,n+d,n+2d$ with $n,d\ge 1.$ The three labels sum to $3(n+d),$ so a fixed assignment of balls to these bins has probability $2^{-3(n+d)}.$

The three balls can be ordered in $3!=6$ ways, so the total probability is $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Since $\gcd(6,49)=1,$ we get $p+q=6+49=55.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Sea $ABCD$ un paralelogramo de área $15.$ Los puntos $P$ y $Q$ son las proyecciones de $A$ y $C,$ respectivamente, sobre la recta $BD;$ y los puntos $R$ y $S$ son las proyecciones de $B$ y $D,$ respectivamente, sobre la recta $AC.$ Observa la figura, que también muestra las posiciones relativas de estos puntos.

Supongamos que $PQ=6$ y $RS=8,$ y sea $d$ la longitud de $\overline{BD},$ la diagonal más larga de $ABCD.$ Entonces $d^2$ puede escribirse en la forma $m+n\sqrt p,$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m+n+p$ ?

Let $ABCD$ be a parallelogram with area $15.$ Points $P$ and $Q$ are the projections of $A$ and $C,$ respectively, onto the line $BD;$ and points $R$ and $S$ are the projections of $B$ and $D,$ respectively, onto the line $AC.$ See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose $PQ=6$ and $RS=8,$ and let $d$ denote the length of $\overline{BD},$ the longer diagonal of $ABCD.$ Then $d^2$ can be written in the form $m+n\sqrt p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n+p?$

$81$

$89$

$97$

$105$

$113$

Conceptos:paralelogramo trigonometría área

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Sea $\theta$ el ángulo entre las diagonales; entonces $PQ=AC\cos\theta$ y $RS=BD\cos\theta$

Let $\theta$ be the angle between the diagonals; then $PQ=AC\cos\theta$ and $RS=BD\cos\theta$

Pista grande:

El área es $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ que se combina con $AC\cos\theta=6,$ $BD\cos\theta=8$

The area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ which combines with $AC\cos\theta=6,$ $BD\cos\theta=8$

Solución:

Sean las diagonales que se cortan en $O$ formando un ángulo $\theta.$ Los pies de las perpendiculares desde $A$ y $C$ a $BD$ son simétricos respecto a $O,$ así que $PQ=AC\cos\theta=6;$ del mismo modo $RS=BD\cos\theta=8.$

El área del paralelogramo es $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ así que $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Entonces $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ dando $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Escribiendo $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ da $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ así que $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Entonces $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ así que $m+n+p=32+8+41=81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the diagonals meet at $O$ at angle $\theta.$ The feet of the perpendiculars from $A$ and $C$ to $BD$ are symmetric about $O,$ so $PQ=AC\cos\theta=6;$ likewise $RS=BD\cos\theta=8.$

The parallelogram’s area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ so $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Then $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ giving $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Writing $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ gives $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ so $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Then $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ so $m+n+p=32+8+41=81.$

Thus, the correct answer is A.

25.

Sea $S$ el conjunto de puntos de red del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre $1$ y $30,$ inclusive. Exactamente $300$ puntos de $S$ están sobre o debajo de una recta de ecuación $y=mx.$ Los posibles valores de $m$ están en un intervalo de longitud $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

Conceptos:punto reticular funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Para un $m$ dado, la columna $x$ aporta $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ puntos sobre o debajo de la recta

For a given $m,$ column $x$ contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points at or below the line

Pista grande:

A medida que $m$ crece, la cuenta salta en las pendientes $\tfrac{y}{x};$ halla las dos pendientes consecutivas de ese tipo que acotan una cuenta de $300$

As $m$ increases, the count jumps at slopes $\tfrac{y}{x};$ find the two consecutive such slopes bracketing a count of $300$

Solución:

Para la pendiente $m,$ la columna $x$ (con $1\le x\le 30$ ) aporta $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ puntos sobre o debajo de $y=mx,$ y necesitamos que el total sea igual a $300.$

Para $m=\tfrac23,$ el tope de $30$ no interviene y $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.$ La cuenta permanece constante hasta la siguiente pendiente mayor $\frac{y}{x}$ con $x\le30.$

Si $\frac{y}{x}>\frac{2}{3},$ entonces $3y-2x$ es un entero positivo. La posibilidad más cercana satisface $3y-2x=1;$ al maximizar $x\le30$ en esta congruencia se obtiene $(y,x)=(19,28).$ Un entero de al menos $2$ produce una separación mayor. Por tanto, el intervalo es $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ cuya longitud es $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Como $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For slope $m,$ column $x$ (with $1\le x\le 30$ ) contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points on or below $y=mx,$ and we need the total to equal $300.$

At $m=\tfrac23,$ the cap at $30$ is inactive and $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.$ The count remains fixed until the next larger slope $\frac{y}{x}$ with $x\le30.$

If $\frac{y}{x}>\frac{2}{3},$ then $3y-2x$ is a positive integer. The closest possibility has $3y-2x=1;$ maximizing $x\le30$ in this congruence gives $(y,x)=(19,28).$ Any numerator at least $2$ gives a larger gap. Hence the interval is $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ whose length is $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Since $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Thus, the correct answer is E.