Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ el valor $\dfrac{n}{30-n}$ también es un entero positivo?

For how many positive integers $n$ is $\dfrac{n}{30-n}$ also a positive integer?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Escribe $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

Para que esto sea un entero positivo, $30-n$ debe ser un divisor positivo de $30$ con $\dfrac{30}{30-n} \ge 2,$ es decir $30-n \le 15.$

Los divisores de $30$ que son a lo sumo $15$ son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,$ lo que da $7$ valores de $n$ (a saber $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

For this to be a positive integer, $30-n$ must be a positive divisor of $30$ with $\dfrac{30}{30-n} \ge 2,$ i.e. $30-n \le 15.$

The divisors of $30$ that are at most $15$ are $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,$ giving $7$ values of $n$ (namely $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ).

Thus, the correct answer is D.