Question

¿Para cuántos enteros $n$ la expresión

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

representa un número real, donde $\log$ denota el logaritmo en base $10$ ?

For how many integers $n$ does the expression

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

represent a real number, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm?

$900$

$3$

$902$

$2$

$901$

Solución:

Escribe $L=\log n.$ Entonces $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L),$ y la fracción es $\dfrac{L(2-L)}{L-3}.$ Un análisis de signos muestra que esto es $\ge 0$ exactamente cuando $L\le 0$ o $2\le L\lt 3.$ Como $n$ es un entero positivo, $L\le 0$ obliga a $n=1,$ mientras que $2\le L\lt 3$ da $100\le n\le 999,$ que son $900$ valores. En total $1+900=901.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $L=\log n.$ Then $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L),$ and the fraction is $\dfrac{L(2-L)}{L-3}.$ A sign chart shows this is $\ge 0$ exactly when $L\le 0$ or $2\le L\lt 3.$ Since $n$ is a positive integer, $L\le 0$ forces $n=1,$ while $2\le L\lt 3$ gives $100\le n\le 999,$ which is $900$ values. In total $1+900=901.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años