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2023 AMC 12B Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

¿Para cuántos enteros nn la expresión
log⁡(n2)−(log⁡n)2log⁡n−3 \sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}
representa un número real, donde log⁡\log denota el logaritmo en base 1010?
For how many integers nn does the expression
log⁡(n2)−(log⁡n)2log⁡n−3 \sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}
represent a real number, where log⁡\log denotes the base 1010 logarithm?
900900
33
902902
22
901901
Respuesta: E
Conceptos:logaritmodesigualdad
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
La expresión es real exactamente cuando la fracción bajo la raíz cuadrada es ≥0\ge 0
The expression is real exactly when the fraction under the square root is ≥0\ge 0
Pista grande:
Sea L=log⁡n;L=\log n; la fracción es L(2−L)L−3≥0,\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0, y nn debe ser un entero positivo
Let L=log⁡n;L=\log n; the fraction is L(2−L)L−3≥0,\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0, and nn must be a positive integer
Solución:
Escribe L=log⁡n.L=\log n. Entonces log⁡(n2)−(log⁡n)2\log(n^2)-(\log n)^2 =2L−L2=2L-L^2 =L(2−L),=L(2-L), y la fracción es L(2−L)L−3.\dfrac{L(2-L)}{L-3}. Un análisis de signos muestra que esto es ≥0\ge 0 exactamente cuando L≤0L\le 0 o 2≤L<3.2\le L\lt 3. Como nn es un entero positivo, L≤0L\le 0 obliga a n=1,n=1, mientras que 2≤L<32\le L\lt 3 da 100≤n≤999,100\le n\le 999, que son 900900 valores. En total 1+900=901.1+900=901.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Write L=log⁡n.L=\log n. Then log⁡(n2)−(log⁡n)2\log(n^2)-(\log n)^2 =2L−L2=2L-L^2 =L(2−L),=L(2-L), and the fraction is L(2−L)L−3.\dfrac{L(2-L)}{L-3}. A sign chart shows this is ≥0\ge 0 exactly when L≤0L\le 0 or 2≤L<3.2\le L\lt 3. Since nn is a positive integer, L≤0L\le 0 forces n=1,n=1, while 2≤L<32\le L\lt 3 gives 100≤n≤999,100\le n\le 999, which is 900900 values. In total 1+900=901.1+900=901.
Thus, the correct answer is E.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

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