Soluciones del 2023 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La Sra. Jones está sirviendo jugo de naranja en cuatro vasos idénticos para sus cuatro hijos. Llena por completo los primeros tres vasos, pero se queda sin jugo cuando el cuarto vaso está solo $\tfrac13$ lleno. ¿Qué fracción de un vaso debe verter la Sra. Jones desde cada uno de los primeros tres vasos hacia el cuarto vaso para que los cuatro vasos tengan la misma cantidad de jugo?

Mrs. Jones is pouring orange juice into four identical glasses for her four sons. She fills the first three glasses completely but runs out of juice when the fourth glass is only $\tfrac13$ full. What fraction of a glass must Mrs. Jones pour from each of the first three glasses into the fourth glass so that all four glasses will have the same amount of juice?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{9}$

Conceptos:fracción media

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Los tres vasos llenos más el que está parcialmente lleno contienen una cantidad total fija de jugo

The three full glasses plus the partly full one hold a fixed total amount of juice

Pista grande:

El total es $3+\tfrac13$ vasos; divide entre $4$ para obtener el nivel final de cada vaso, luego réstalo de $1$

The total is $3+\tfrac13$ glasses; divide by $4$ to get each glass’s final level, then subtract from $1$

Solución:

El jugo total es $3+\tfrac13=\tfrac{10}{3}$ vasos. Repartido en partes iguales, cada vaso debe contener $\tfrac{10}{3}\div 4=\tfrac{5}{6}$ de un vaso. Por lo tanto, cada uno de los primeros tres vasos debe ceder $1-\tfrac{5}{6}=\tfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total juice is $3+\tfrac13=\tfrac{10}{3}$ glasses. Split evenly, each glass should hold $\tfrac{10}{3}\div 4=\tfrac{5}{6}$ of a glass. Each of the first three glasses must therefore give up $1-\tfrac{5}{6}=\tfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Carlos fue a una tienda de deportes a comprar zapatillas para correr. Las zapatillas estaban en oferta, con los precios reducidos en $20\%$ en cada par. Carlos también sabía que tenía que pagar un impuesto de venta de $7.5\%$ sobre el precio con descuento. Tenía $43$ dólares. ¿Cuál es el precio original (antes del descuento) de las zapatillas más caras que podía permitirse comprar?

Carlos went to a sports store to buy running shoes. Running shoes were on sale, with prices reduced by $20\%$ on every pair of shoes. Carlos also knew that he had to pay a $7.5\%$ sales tax on the discounted price. He had $43$ dollars. What is the original (before discount) price of the most expensive shoes he could afford to buy?

$46$

$50$

$48$

$47$

$49$

Conceptos:porcentaje trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Un descuento de $20\%$ multiplica el precio por $0.8,$ luego el impuesto de $7.5\%$ multiplica por $1.075$

A $20\%$ discount multiplies the price by $0.8,$ then the $7.5\%$ tax multiplies by $1.075$

Pista grande:

Resuelve $0.8\times 1.075\times p\le 43$ para el mayor precio original $p$

Solve $0.8\times 1.075\times p\le 43$ for the largest original price $p$

Solución:

El costo final de un par con precio original $p$ es $0.8\times 1.075\times p=0.86p.$ Al plantear $0.86p\le 43$ se obtiene $p\le 50,$ así que el par más caro que puede pagar costaba originalmente $50$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The final cost of a pair with original price $p$ is $0.8\times 1.075\times p=0.86p.$ Setting $0.86p\le 43$ gives $p\le 50,$ so the most expensive affordable pair originally cost $50$ dollars.

Thus, the correct answer is B.

3.

Un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ está inscrito en el círculo $A,$ y un triángulo rectángulo $5$ - $12$ - $13$ está inscrito en el círculo $B.$ ¿Cuál es la razón entre el área del círculo $A$ y el área del círculo $B$ ?

A $3$ - $4$ - $5$ right triangle is inscribed in circle $A,$ and a $5$ - $12$ - $13$ right triangle is inscribed in circle $B.$ What is the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B?$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{25}{169}$

$\dfrac{4}{25}$

Conceptos:triángulo rectángulo área del círculo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Un triángulo rectángulo inscrito en un círculo tiene su hipotenusa como diámetro

A right triangle inscribed in a circle has its hypotenuse as a diameter

Pista grande:

Los círculos tienen diámetros $5$ y $13;$ la razón de áreas es el cuadrado de la razón de los radios

The circles have diameters $5$ and $13;$ the area ratio is the square of the ratio of radii

Solución:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo inscrito es un diámetro, así que el círculo $A$ tiene diámetro $5$ y el círculo $B$ tiene diámetro $13.$ La razón de áreas es $\left(\tfrac{5}{13}\right)^2= \tfrac{25}{169}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hypotenuse of an inscribed right triangle is a diameter, so circle $A$ has diameter $5$ and circle $B$ has diameter $13.$ The ratio of areas is $\left(\tfrac{5}{13}\right)^2= \tfrac{25}{169}.$

Thus, the correct answer is D.

4.

El pincel de Jackson forma una franja angosta con un ancho de $6.5$ milímetros. Jackson tiene suficiente pintura para hacer una franja de $25$ metros de largo. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel podría cubrir Jackson con pintura?

Jackson’s paintbrush makes a narrow strip with a width of $6.5$ millimeters. Jackson has enough paint to make a strip $25$ meters long. How many square centimeters of paper could Jackson cover with paint?

$162{,}500$

$162.5$

$1{,}625$

$1{,}625{,}000$

$16{,}250$

Conceptos:conversión de unidades área

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Convierte cada longitud a centímetros antes de multiplicar

Convert every length to centimeters before multiplying

Pista grande:

El ancho es $6.5\text{ mm}=0.65\text{ cm}$ y el largo es $25\text{ m}=2500\text{ cm}$

The width is $6.5\text{ mm}=0.65\text{ cm}$ and the length is $25\text{ m}=2500\text{ cm}$

Solución:

Al convertir las unidades, la franja tiene $0.65$ cm de ancho y $2500$ cm de largo, así que su área es $0.65\times 2500=1625$ centímetros cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Converting units, the strip is $0.65$ cm wide and $2500$ cm long, so its area is $0.65\times 2500=1625$ square centimeters.

Thus, the correct answer is C.

5.

Estás jugando un juego. Un rectángulo $2\times 1$ cubre dos casillas adyacentes (orientado horizontal o verticalmente) de una cuadrícula $3\times 3$ de casillas, pero no te dicen cuáles dos casillas están cubiertas. Tu objetivo es encontrar al menos una casilla que esté cubierta por el rectángulo. Un “turno” consiste en que adivines una casilla, tras lo cual te dicen si esa casilla está cubierta por el rectángulo oculto. ¿Cuál es el número mínimo de turnos que necesitas para garantizar que al menos una de las casillas que adivinaste esté cubierta por el rectángulo?

You are playing a game. A $2\times 1$ rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a $3\times 3$ grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A “turn” consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?

$3$

$5$

$4$

$8$

$6$

Conceptos:juego combinatorio argumento extremal

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Piensa en qué casillas podrías dejar sin adivinar sin tocar nunca el dominó

Think about which squares you could leave un-guessed without ever touching the domino

Pista grande:

Las casillas sin adivinar no deben contener dos casillas adyacentes; el conjunto más grande de este tipo en una cuadrícula $3\times 3$ tiene $5$ casillas

The un-guessed squares must contain no two adjacent squares; the largest such set in a $3\times 3$ grid has $5$ squares

Solución:

Un conjunto de casillas adivinadas garantiza tocar el dominó si y solo si las casillas sin adivinar no contienen dos casillas adyacentes, ya que de lo contrario el dominó podría esconderse en ese par adyacente. El conjunto más grande de casillas mutuamente no adyacentes en la cuadrícula $3\times 3$ es el patrón de tablero de $5$ casillas (las cuatro esquinas más el centro). Así que a lo sumo se pueden dejar $5$ casillas sin adivinar, y debes adivinar $9-5=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A set of guessed squares is guaranteed to hit the domino if and only if the un-guessed squares contain no two adjacent squares, since otherwise the domino could hide on that adjacent pair. The largest set of pairwise non-adjacent squares in the $3\times 3$ grid is the $5$ -square checkerboard (four corners plus the center). So at most $5$ squares can be left unguessed, and you must guess $9-5=4.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Cuando las raíces del polinomio

$\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}$

se eliminan de la recta numérica, lo que queda es la unión de $11$ intervalos abiertos disjuntos. ¿En cuántos de estos intervalos es $P(x)$ positivo?

When the roots of the polynomial

$\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}$

are removed from the number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of these intervals is $P(x)$ positive?

$3$

$7$

$6$

$4$

$5$

Conceptos:polinomio paridad

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El signo de $P(x)$ cambia en una raíz solo cuando el exponente de esa raíz es impar

The sign of $P(x)$ flips at a root only when that root’s exponent is odd

Pista grande:

Para $x\gt 10$ el valor es positivo; muévete hacia la izquierda, cambiando de signo solo en las raíces impares $1,3,5,7,9$

For $x\gt 10$ the value is positive; move left, flipping sign only at the odd roots $1,3,5,7,9$

Solución:

El exponente del factor $(x-k)$ es $k,$ así que el signo de $P$ cambia en $x=k$ solo cuando $k$ es impar, es decir, en $1,3,5,7,9.$ Para $x\gt 10$ todos los factores son positivos, así que $P\gt 0.$ Barriendo hacia la izquierda y cambiando de signo en cada raíz impar, los intervalos positivos son $(10,\infty),$ $(9,10),$ $(6,7),$ $(5,6),$ $(2,3),$ y $(1,2)$ : seis intervalos en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The exponent of the factor $(x-k)$ is $k,$ so the sign of $P$ changes at $x=k$ only when $k$ is odd, i.e. at $1,3,5,7,9.$ For $x\gt 10$ every factor is positive, so $P\gt 0.$ Sweeping left and flipping at each odd root, the positive intervals are $(10,\infty),$ $(9,10),$ $(6,7),$ $(5,6),$ $(2,3),$ and $(1,2)$ — six intervals in all.

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Para cuántos enteros $n$ la expresión

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

representa un número real, donde $\log$ denota el logaritmo en base $10$ ?

For how many integers $n$ does the expression

$\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}$

represent a real number, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm?

$900$

$3$

$902$

$2$

$901$

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La expresión es real exactamente cuando la fracción bajo la raíz cuadrada es $\ge 0$

The expression is real exactly when the fraction under the square root is $\ge 0$

Pista grande:

Sea $L=\log n;$ la fracción es $\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,$ y $n$ debe ser un entero positivo

Let $L=\log n;$ the fraction is $\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,$ and $n$ must be a positive integer

Solución:

Escribe $L=\log n.$ Entonces $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L),$ y la fracción es $\dfrac{L(2-L)}{L-3}.$ Un análisis de signos muestra que esto es $\ge 0$ exactamente cuando $L\le 0$ o $2\le L\lt 3.$ Como $n$ es un entero positivo, $L\le 0$ obliga a $n=1,$ mientras que $2\le L\lt 3$ da $100\le n\le 999,$ que son $900$ valores. En total $1+900=901.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $L=\log n.$ Then $\log(n^2)-(\log n)^2$ $=2L-L^2$ $=L(2-L),$ and the fraction is $\dfrac{L(2-L)}{L-3}.$ A sign chart shows this is $\ge 0$ exactly when $L\le 0$ or $2\le L\lt 3.$ Since $n$ is a positive integer, $L\le 0$ forces $n=1,$ while $2\le L\lt 3$ gives $100\le n\le 999,$ which is $900$ values. In total $1+900=901.$

Thus, the correct answer is E.

8.

¿Cuántos subconjuntos no vacíos $B$ de $\{0,1,2,3,\ldots,12\}$ tienen la propiedad de que el número de elementos de $B$ es igual al elemento mínimo de $B$ ? Por ejemplo, $B=\{4,6,8,11\}$ satisface la condición.

How many nonempty subsets $B$ of $\{0,1,2,3,\ldots,12\}$ have the property that the number of elements in $B$ is equal to the least element of $B?$ For example, $B=\{4,6,8,11\}$ satisfies the condition.

$256$

$136$

$108$

$144$

$156$

Conceptos:combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Si el elemento mínimo es $m,$ entonces $B$ tiene exactamente $m$ elementos, todos al menos $m$

If the least element is $m,$ then $B$ has exactly $m$ elements, all at least $m$

Pista grande:

Elige los otros $m-1$ elementos de los $12-m$ enteros mayores que $m:$ esto da $\binom{12-m}{m-1}$

Choose the other $m-1$ elements from the $12-m$ integers greater than $m:$ this gives $\binom{12-m}{m-1}$

Solución:

Si el elemento mínimo es $m\ (m\ge 1),$ entonces $|B|=m$ y los $m-1$ elementos restantes provienen de $\{m+1,\ldots,12\},$ un conjunto de tamaño $12-m.$ El conteo es $\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}$ que es igual a $1+10+36+56+35+6$ $=144.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the least element is $m\ (m\ge 1),$ then $|B|=m$ and the remaining $m-1$ elements come from $\{m+1,\ldots,12\},$ a set of size $12-m.$ The count is $\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}$ which equals $1+10+36+56+35+6$ $=144.$

Thus, the correct answer is D.

9.

¿Cuál es el área de la región en el plano de coordenadas definida por

$||x|-1|+||y|-1|\le 1?$

What is the area of the region in the coordinate plane defined by

$||x|-1|+||y|-1|\le 1?$

$2$

$8$

$4$

$15$

$12$

Conceptos:valor absoluto área simetría

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La región es simétrica respecto a ambos ejes, así que trabaja con $|x|$ y $|y|$

The region is symmetric across both axes, so work with $|x|$ and $|y|$

Pista grande:

En el primer cuadrante $|x-1|+|y-1|\le 1$ es un rombo de área $2;$ hay $4$ copias

In the first quadrant $|x-1|+|y-1|\le 1$ is a diamond of area $2;$ there are $4$ copies

Solución:

Reemplazando $x,y$ por $|x|,|y|,$ la condición $|x-1|+|y-1|\le 1$ describe un rombo centrado en $(1,1)$ con diagonales de longitud $2,$ por lo que su área es $2.$ Está por completo en el primer cuadrante (tocando los ejes solo en puntos aislados), así que al reflejarlo respecto a los dos ejes se producen $4$ copias disjuntas. El área total es $4\times 2=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing $x,y$ by $|x|,|y|,$ the condition $|x-1|+|y-1|\le 1$ describes a diamond centered at $(1,1)$ with diagonals of length $2,$ hence area $2.$ It lies entirely in the first quadrant (touching the axes only at single points), so reflecting across the two axes produces $4$ disjoint copies. The total area is $4\times 2=8.$

Thus, the correct answer is B.

10.

En el plano $xy$ , un círculo de radio $4$ con centro en el semieje positivo $x$ es tangente al eje $y$ en el origen, y un círculo de radio $10$ con centro en el semieje positivo $y$ es tangente al eje $x$ en el origen. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos en los que estos círculos se intersecan?

In the $xy$ -plane, a circle of radius $4$ with center on the positive $x$ -axis is tangent to the $y$ -axis at the origin, and a circle with radius $10$ with center on the positive $y$ -axis is tangent to the $x$ -axis at the origin. What is the slope of the line passing through the two points at which these circles intersect?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{2}{\sqrt{29}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{29}}$

$\dfrac{2}{5}$

Conceptos:círculo eje radical pendiente

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Escribe las ecuaciones de ambos círculos, luego réstalas para obtener la recta que pasa por ambos puntos de intersección

Write both circle equations, then subtract to get the line through both intersection points

Pista grande:

Los círculos se simplifican a $x^2+y^2=8x$ y $x^2+y^2=20y;$ iguala los lados derechos

The circles simplify to $x^2+y^2=8x$ and $x^2+y^2=20y;$ set the right sides equal

Solución:

Los círculos son $(x-4)^2+y^2=16$ y $x^2+(y-10)^2=100,$ es decir, $x^2+y^2=8x$ y $x^2+y^2=20y.$ Al restar se obtiene $8x=20y,$ así que los puntos de intersección están sobre $y=\tfrac{2}{5}x,$ que tiene pendiente $\tfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circles are $(x-4)^2+y^2=16$ and $x^2+(y-10)^2=100,$ i.e. $x^2+y^2=8x$ and $x^2+y^2=20y.$ Subtracting gives $8x=20y,$ so the intersection points lie on $y=\tfrac{2}{5}x,$ which has slope $\tfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuál es el área máxima de un trapecio isósceles que tiene lados no paralelos de longitud $1$ y una base que es el doble de larga que la otra?

What is the maximum area of an isosceles trapezoid that has legs of length $1$ and one base twice as long as the other?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Conceptos:trapecio optimización

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza las dos alturas; cada lado no paralelo abarca una distancia horizontal de $\frac{\text{base mayor}-\text{base menor}}{2}$

Drop the two heights; each leg spans a horizontal distance of $\frac{\text{long base}-\text{short base}}{2}$

Pista grande:

Con base menor $a,$ el área es $\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}};$ maximiza su cuadrado

With shorter base $a,$ the area is $\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}};$ maximize its square

Solución:

Sean las bases $a$ y $2a.$ Cada lado no paralelo tiene un desplazamiento horizontal de $\tfrac{a}{2},$ así que la altura es $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ y el área es $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}.$ Entonces $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right),$ que se maximiza cuando $a^2=2.$ Ahí la altura es $\tfrac{1}{\sqrt2}$ y $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the bases be $a$ and $2a.$ Each leg has horizontal offset $\tfrac{a}{2},$ so the height is $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ and the area is $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}.$ Then $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right),$ maximized when $a^2=2.$ There the height is $\tfrac{1}{\sqrt2}$ and $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Para los números complejos $u=a+bi$ y $v=c+di,$ define la operación binaria $\otimes$ mediante

$u\otimes v=ac+bdi.$

Supón que $z$ es un número complejo tal que $z\otimes z=z^2+40.$ ¿Cuánto vale $|z|$ ?

For complex numbers $u=a+bi$ and $v=c+di,$ define the binary operation $\otimes$ by

$u\otimes v=ac+bdi.$

Suppose $z$ is a complex number such that $z\otimes z=z^2+40.$ What is $|z|?$

$2$

$5$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$5\sqrt{2}$

Conceptos:operación personalizada número complejo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe $z=a+bi;$ entonces $z\otimes z=a^2+b^2 i$ mientras que $z^2=a^2-b^2+2abi$

Write $z=a+bi;$ then $z\otimes z=a^2+b^2 i$ while $z^2=a^2-b^2+2abi$

Pista grande:

Iguala las partes real e imaginaria de $z\otimes z=z^2+40,$ luego calcula $a^2+b^2$

Match real and imaginary parts of $z\otimes z=z^2+40,$ then compute $a^2+b^2$

Solución:

Con $z=a+bi,$ tenemos $z\otimes z=a^2+b^2 i$ y $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.$ Las partes reales dan $a^2=a^2-b^2+40,$ así que $b^2=40.$ Las partes imaginarias dan $b^2=2ab,$ así que $b=2a$ y $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.$ Entonces $|z|^2=a^2+b^2=50,$ por lo que $|z|=5\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

With $z=a+bi,$ we have $z\otimes z=a^2+b^2 i$ and $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.$ The real parts give $a^2=a^2-b^2+40,$ so $b^2=40.$ The imaginary parts give $b^2=2ab,$ so $b=2a$ and $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.$ Then $|z|^2=a^2+b^2=50,$ so $|z|=5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

13.

Una caja rectangular $P$ tiene longitudes de aristas distintas $a,$ $b,$ y $c.$ La suma de las longitudes de las $12$ aristas de $P$ es $13,$ la suma de las áreas de las $6$ caras de $P$ es $\tfrac{11}{2},$ y el volumen de $P$ es $\tfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal interior más larga que conecta dos vértices de $P$ ?

A rectangular box $P$ has distinct edge lengths $a,$ $b,$ and $c.$ The sum of the lengths of all $12$ edges of $P$ is $13,$ the sum of the areas of all $6$ faces of $P$ is $\tfrac{11}{2},$ and the volume of $P$ is $\tfrac{1}{2}.$ What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $P?$

$2$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

Conceptos:prisma rectangular manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La diagonal es $\sqrt{a^2+b^2+c^2};$ te dan $a+b+c$ y $ab+bc+ca$

The diagonal is $\sqrt{a^2+b^2+c^2};$ you are given $a+b+c$ and $ab+bc+ca$

Pista grande:

Usa $a^2+b^2+c^2$ $=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

Use $a^2+b^2+c^2$ $=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

Solución:

Por las aristas, $4(a+b+c)=13,$ así que $a+b+c=\tfrac{13}{4}.$ Por las caras, $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2},$ así que $ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}.$ Entonces $\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}, \end{aligned}$ así que la diagonal es $\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From the edges, $4(a+b+c)=13,$ so $a+b+c=\tfrac{13}{4}.$ From the faces, $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2},$ so $ab+bc+ca=\tfrac{11}{4}.$ Then $\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\left(\tfrac{13}{4}\right)^2-2\cdot\tfrac{11}{4} \\ &=\tfrac{169}{16}-\tfrac{88}{16} \\ &=\tfrac{81}{16}, \end{aligned}$ so the diagonal is $\sqrt{\tfrac{81}{16}}=\tfrac{9}{4}.$

Thus, the correct answer is D.

14.

¿Para cuántos pares ordenados $(a,b)$ de enteros el polinomio $x^3+ax^2+bx+6$ tiene $3$ raíces enteras distintas?

For how many ordered pairs $(a,b)$ of integers does the polynomial $x^3+ax^2+bx+6$ have $3$ distinct integer roots?

$5$

$6$

$8$

$7$

$4$

Conceptos:Fórmulas de Vieta factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Si las raíces son enteros $p,q,r,$ entonces $pqr=-6$

If the roots are integers $p,q,r,$ then $pqr=-6$

Pista grande:

Enumera los conjuntos de tres enteros distintos con producto $-6;$ cada conjunto da un par $(a,b)$

List the sets of three distinct integers with product $-6;$ each set gives one pair $(a,b)$

Solución:

Por Vieta, las tres raíces enteras distintas multiplican a $-6.$ Los conjuntos de tres enteros distintos con producto $-6$ son $\{1,2,-3\},$ $\{1,-2,3\},$ $\{-1,2,3\},$ $\{-1,-2,-3\},$ y $\{1,-1,6\}.$ Cada conjunto determina $a=-(p+q+r)$ y $b=pq+qr+rp,$ y los cinco dan pares diferentes, así que hay $5$ pares ordenados $(a,b).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta, the three distinct integer roots multiply to $-6.$ The sets of three distinct integers with product $-6$ are $\{1,2,-3\},$ $\{1,-2,3\},$ $\{-1,2,3\},$ $\{-1,-2,-3\},$ and $\{1,-1,6\}.$ Each set determines $a=-(p+q+r)$ and $b=pq+qr+rp,$ and all five give different pairs, so there are $5$ ordered pairs $(a,b).$

Thus, the correct answer is A.

15.

Supón que $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos tales que

$\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.$

¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente verdaderos?

I. Si $\gcd(a,14)=1$ o $\gcd(b,15)=1$ o ambos, entonces $\gcd(c,210)=1.$

II. Si $\gcd(c,210)=1,$ entonces $\gcd(a,14)=1$ o $\gcd(b,15)=1$ o ambos.

III. $\gcd(c,210)=1$ si y solo si $\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.$

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers such that

$\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.$

Which of the following statements are necessarily true?

I. If $\gcd(a,14)=1$ or $\gcd(b,15)=1$ or both, then $\gcd(c,210)=1.$

II. If $\gcd(c,210)=1,$ then $\gcd(a,14)=1$ or $\gcd(b,15)=1$ or both.

III. $\gcd(c,210)=1$ if and only if $\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$

Solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

Solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular deducción lógica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Al despejar los denominadores se obtiene $c=15a+14b,$ así que $c\equiv a\pmod{14}$ y $c\equiv -b\pmod{15}$

Clearing denominators gives $c=15a+14b,$ so $c\equiv a\pmod{14}$ and $c\equiv -b\pmod{15}$

Pista grande:

Por lo tanto, $2,7$ dividen a $c$ si y solo si dividen a $a,$ y $3,5$ dividen a $c$ si y solo si dividen a $b$

Hence $2,7$ divide $c$ iff they divide $a,$ and $3,5$ divide $c$ iff they divide $b$

Solución:

Multiplicando por $210$ se obtiene $c=15a+14b.$ Como $15\equiv 1\pmod{14},$ obtenemos $c\equiv a\pmod{14},$ así que $\gcd(c,14)=1$ si y solo si $\gcd(a,14)=1.$ Como $14\equiv -1\pmod{15},$ obtenemos $c\equiv -b\pmod{15},$ así que $\gcd(c,15)=1$ si y solo si $\gcd(b,15)=1.$ Como $210=14\cdot 15$ con $\gcd(14,15)=1,$ el enunciado III se sigue: $\gcd(c,210)=1$ si y solo si ambos se cumplen. El enunciado II es la implicación directa de III, por lo que es verdadero. El enunciado I es falso: si $\gcd(a,14)=1$ pero $\gcd(b,15)\ne 1,$ entonces $\gcd(c,15)\ne 1,$ así que $\gcd(c,210)\ne 1.$ Solo II y III son verdaderos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Multiplying by $210$ gives $c=15a+14b.$ Since $15\equiv 1\pmod{14},$ we get $c\equiv a\pmod{14},$ so $\gcd(c,14)=1$ iff $\gcd(a,14)=1.$ Since $14\equiv -1\pmod{15},$ we get $c\equiv -b\pmod{15},$ so $\gcd(c,15)=1$ iff $\gcd(b,15)=1.$ As $210=14\cdot 15$ with $\gcd(14,15)=1,$ statement III follows: $\gcd(c,210)=1$ iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if $\gcd(a,14)=1$ but $\gcd(b,15)\ne 1,$ then $\gcd(c,15)\ne 1,$ so $\gcd(c,210)\ne 1.$ Only II and III are true.

Thus, the correct answer is E.

16.

En Coinland, hay tres tipos de monedas, con valores $6,$ $10,$ y $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de la máxima cantidad de dinero que es imposible tener?

In Coinland, there are three types of coins, each worth $6,$ $10,$ and $15.$ What is the sum of the digits of the maximum amount of money that is impossible to have?

$8$

$10$

$7$

$11$

$9$

Conceptos:Teorema de Chicken McNugget (Frobenius)

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Enumera qué cantidades se pueden formar con $6,10,15;$ busca la mayor que no se puede

List which amounts can be formed from $6,10,15;$ look for the largest that cannot

Pista grande:

Una vez que seis cantidades consecutivas son todas alcanzables, agregar más $6$ alcanza todo lo que sigue

Once six consecutive amounts are all attainable, adding more $6$ ’s reaches everything beyond

Solución:

Las cantidades $30,31,32,33,34,35$ son todas alcanzables (por ejemplo, $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ). Añadir monedas de $6$ permite alcanzar entonces toda cantidad mayor. Al revisar las menores, $29$ es imposible: sin una moneda de $15$ , una suma de monedas de $6$ y $10$ es par; con una moneda de $15$ , los $14$ restantes no pueden escribirse como $6a+10b;$ dos monedas de $15$ ya superan $29.$ Por tanto, la mayor cantidad imposible es $29,$ cuya suma de dígitos es $2+9=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The amounts $30,31,32,33,34,35$ are all attainable (for instance $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ). Adding $6$ ’s then reaches every larger amount. Checking below, $29$ is impossible: without a $15$ -coin a sum of $6$ ’s and $10$ ’s is even, while with one $15$ -coin the remaining $14$ cannot be written as $6a+10b;$ two $15$ -coins already exceed $29.$ So the largest impossible amount is $29,$ whose digit sum is $2+9=11.$

Thus, the correct answer is D.

17.

El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lados en progresión aritmética, y el lado más pequeño tiene longitud $6.$ Si el triángulo tiene un ángulo de $120^\circ,$ ¿cuál es el área de $ABC$ ?

Triangle $ABC$ has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length $6.$ If the triangle has an angle of $120^\circ,$ what is the area of $ABC?$

$12\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

$14\sqrt{2}$

$20\sqrt{2}$

$15\sqrt{3}$

Conceptos:sucesión aritmética ley de los cosenos área del triángulo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sean los lados $6,\ 6+d,\ 6+2d;$ el ángulo de $120^\circ$ es opuesto al lado más largo

Let the sides be $6,\ 6+d,\ 6+2d;$ the $120^\circ$ angle is opposite the longest side

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos con $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ para hallar $d,$ luego el área $=\tfrac12ab\sin 120^\circ$

Apply the law of cosines with $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ to find $d,$ then area $=\tfrac12ab\sin 120^\circ$

Solución:

Sean los lados $6,\ 6+d,\ 6+2d.$ El ángulo de $120^\circ$ está frente al lado más largo, así que $(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2$ $-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.$ Usando $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ se obtiene $3d^2+6d-72=0,$ así que $d=4$ y los lados son $6,10,14.$ El área es $\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ$ $=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}$ $=15\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the sides be $6,\ 6+d,\ 6+2d.$ The $120^\circ$ angle faces the longest side, so $(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2$ $-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.$ Using $\cos 120^\circ=-\tfrac12$ gives $3d^2+6d-72=0,$ so $d=4$ and the sides are $6,10,14.$ The area is $\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ$ $=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}$ $=15\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

18.

El año académico pasado, Yolanda y Zelda tomaron cursos diferentes que no necesariamente aplicaron la misma cantidad de exámenes cortos durante cada uno de los dos semestres. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que tomó durante el primer semestre. El promedio de Yolanda en todos los exámenes cortos que tomó durante el segundo semestre fue $18$ puntos más alto que su promedio del primer semestre, y de nuevo fue $3$ puntos más alto que el promedio de Zelda en todos los exámenes cortos que Zelda tomó durante su segundo semestre. ¿Cuál de los siguientes enunciados no puede ser verdadero de ninguna manera?

Last academic year Yolanda and Zelda took different courses that did not necessarily administer the same number of quizzes during each of the two semesters. Yolanda’s average on all the quizzes she took during the first semester was $3$ points higher than Zelda’s average on all the quizzes she took during the first semester. Yolanda’s average on all the quizzes she took during the second semester was $18$ points higher than her average for the first semester and was again $3$ points higher than Zelda’s average on all the quizzes Zelda took during her second semester. Which one of the following statements cannot possibly be true?

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $22$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda’s quiz average for the academic year was $22$ points higher than Zelda’s.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue más alto que el de Yolanda.

Zelda’s quiz average for the academic year was higher than Yolanda’s.

El promedio de exámenes cortos de Yolanda en el año académico fue $3$ puntos más alto que el de Zelda.

Yolanda’s quiz average for the academic year was $3$ points higher than Zelda’s.

El promedio de exámenes cortos de Zelda en el año académico fue igual al de Yolanda.

Zelda’s quiz average for the academic year equaled Yolanda’s.

Si Zelda hubiera obtenido $3$ puntos más en cada examen corto que tomó, entonces habría tenido el mismo promedio del año académico que Yolanda.

If Zelda had scored $3$ points higher on each quiz she took, then she would have had the same average for the academic year as Yolanda.

Conceptos:media ponderada desigualdad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea el promedio de Zelda del primer semestre $0,$ y escribe los otros tres promedios semestrales usando las diferencias dadas

Let Zelda’s first-semester average be $0,$ and write the other three semester averages using the given gaps

Pista grande:

Si $p,q$ son las fracciones de los exámenes cortos de Yolanda y de Zelda tomados en el segundo semestre, la diferencia entre sus promedios anuales es $3+18(p-q)$

If $p,q$ are the fractions of Yolanda’s and Zelda’s quizzes taken in semester two, their yearly-average difference is $3+18(p-q)$

Solución:

Restar el promedio del primer semestre de Zelda de los cuatro promedios semestrales no cambia la comparación. Podemos escribir entonces los promedios como $0,18$ para Zelda y $3,21$ para Yolanda. Sean $p$ y $q$ las fracciones de los exámenes de Yolanda y Zelda, respectivamente, que ocurrieron en el segundo semestre. La diferencia entre sus promedios anuales es $(3+18p)-18q=3+18(p-q).$ Como $0\lt p,q\lt 1,$ esta diferencia es menor que $21,$ así que no puede ser $22.$

Las otras opciones sí pueden ocurrir. Tomar $(p,q)=(\tfrac14,\tfrac34)$ hace que el promedio de Zelda sea mayor; tomar $p=q$ hace que el promedio de Yolanda sea $3$ puntos mayor (y también verifica la última opción después de sumar $3$ a cada calificación de Zelda); y tomar $(p,q)=(\tfrac13,\tfrac12)$ hace iguales los promedios anuales. Cada fracción mostrada se puede obtener con cantidades enteras positivas de exámenes.

Así, la respuesta correcta es A.

Subtracting Zelda’s first-semester average from all four semester averages does not affect the comparison. We may therefore write the semester averages as $0,18$ for Zelda and $3,21$ for Yolanda. Let $p$ and $q$ be the fractions of Yolanda’s and Zelda’s quizzes, respectively, that occurred in the second semester. Their yearly-average difference is $(3+18p)-18q=3+18(p-q).$ Because $0\lt p,q\lt 1,$ this difference is less than $21,$ so it cannot be $22.$

The other options really can occur. Taking $(p,q)=(\tfrac14,\tfrac34)$ makes Zelda’s average higher; taking $p=q$ makes Yolanda’s average $3$ points higher (and also verifies the last option after adding $3$ to every Zelda score); and taking $(p,q)=(\tfrac13,\tfrac12)$ makes the yearly averages equal. Each displayed fraction can be realized by positive integer quiz counts.

Thus, the correct answer is A.

19.

Cada una de $2023$ pelotas se coloca en uno de $3$ recipientes. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la probabilidad de que cada uno de los recipientes contenga un número impar de pelotas?

Each of $2023$ balls is placed in one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:raíces de la unidad paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Cada pelota cae de forma independiente; usa un filtro de paridad, escribiendo que el recipiente $i$ es impar como $\tfrac{1-(-1)^{k_i}}{2}$

Each ball lands independently; use a parity filter, writing bin $i$ odd as $\tfrac{1-(-1)^{k_i}}{2}$

Pista grande:

Sumando sobre todas las asignaciones, la fracción de todos impares es $\dfrac{3^{\,n}-3}{4\cdot 3^{\,n}};$ observa a qué tiende para $n$ grande

Summing over all assignments, the all-odd fraction is $\dfrac{3^{\,n}-3}{4\cdot 3^{\,n}};$ see what it approaches for large $n$

Solución:

Al contar las asignaciones en las que los tres recipientes son impares con el filtro de paridad se obtiene $\scriptsize\frac{1}{8}\sum_{S\subseteq\{1,2,3\}}(-1)^{|S|}(3-2|S|)^n=\frac{3^n-3}{4}$ para valores impares de $n.$ Al dividir entre el total de $3^n$ asignaciones, la probabilidad es $\dfrac{3^n-3}{4\cdot 3^n},$ que para $n=2023$ está extremadamente cerca de $\tfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Counting assignments where all three bins are odd with the parity filter gives $\scriptsize\frac{1}{8}\sum_{S\subseteq\{1,2,3\}}(-1)^{|S|}(3-2|S|)^n=\frac{3^n-3}{4}$ for odd $n.$ Dividing by the $3^n$ total assignments, the probability is $\dfrac{3^n-3}{4\cdot 3^n},$ which for $n=2023$ is extremely close to $\tfrac14.$

Thus, the correct answer is E.

20.

La rana Cyrus salta $2$ unidades en una dirección, luego $2$ más en otra dirección. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga a menos de $1$ unidad de su posición inicial?

Cyrus the frog jumps $2$ units in a direction, then $2$ more in another direction. What is the probability that he lands less than $1$ unit away from his starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}$

$\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}$

Conceptos:probabilidad geométrica ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Fija el primer salto a lo largo del eje $x$ ; el segundo salto forma un ángulo $\theta$ uniformemente aleatorio

Fix the first jump along the $x$ -axis; the second jump makes a uniformly random angle $\theta$

Pista grande:

La distancia de aterrizaje satisface $R^2=8+8\cos\theta;$ exige $R\lt 1,$ es decir, $\cos\theta\lt-\tfrac78$

The landing distance satisfies $R^2=8+8\cos\theta;$ require $R\lt 1,$ i.e. $\cos\theta\lt-\tfrac78$

Solución:

Toma el primer salto como $(2,0)$ y el segundo como $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ con $\theta$ uniforme en $[0,2\pi).$ La distancia de aterrizaje satisface $R^2=(2+2\cos\theta)^2$ $+(2\sin\theta)^2$ $=8+8\cos\theta.$ Necesitamos $R\lt 1,$ es decir, $\cos\theta\lt-\tfrac78.$ La medida de tales ángulos es $2\arccos\tfrac78,$ así que la probabilidad es $\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.$ Usando $\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x$ con $x=\tfrac14$ se obtiene $\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14,$ así que la probabilidad es $\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the first jump as $(2,0)$ and the second as $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ with $\theta$ uniform on $[0,2\pi).$ The landing distance satisfies $R^2=(2+2\cos\theta)^2$ $+(2\sin\theta)^2$ $=8+8\cos\theta.$ We need $R\lt 1,$ i.e. $\cos\theta\lt-\tfrac78.$ The measure of such angles is $2\arccos\tfrac78,$ so the probability is $\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.$ Using $\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x$ with $x=\tfrac14$ gives $\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14,$ so the probability is $\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Una pantalla de lámpara tiene la forma de la superficie lateral del tronco de un cono circular recto. La altura del tronco es $3\sqrt{3}$ pulgadas, su diámetro superior es $6$ pulgadas, y su diámetro inferior es $12$ pulgadas. Un insecto está en la parte inferior de la pantalla y hay una gota de miel en el borde superior de la pantalla, en el punto más alejado del insecto. El insecto quiere arrastrarse hasta la miel, pero debe permanecer sobre la superficie de la pantalla. ¿Cuál es la longitud en pulgadas de su trayectoria más corta hasta la miel?

A lampshade is made in the form of the lateral surface of the frustum of a right circular cone. The height of the frustum is $3\sqrt{3}$ inches, its top diameter is $6$ inches, and its bottom diameter is $12$ inches. A bug is at the bottom of the lampshade and there is a glob of honey on the top edge of the lampshade at the spot farthest from the bug. The bug wants to crawl to the honey, but it must stay on the surface of the lampshade. What is the length in inches of its shortest path to the honey?

$6+3\pi$

$6+6\pi$

$6\sqrt{3}$

$6\sqrt{5}$

$6\sqrt{3}+\pi$

Conceptos:cono desarrollo plano (geometría 3D)recta tangente

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Extiende el tronco a un cono completo (distancias inclinadas al vértice de $6$ y $12$ ); se desenrolla en un sector de ángulo $\pi$

Extend the frustum to a full cone (apex slant distances $6$ and $12$ ); it unrolls to a sector of angle $\pi$

Pista grande:

La línea recta hacia la miel atraviesa el cono superior que falta, así que la trayectoria va tangente al círculo interior de radio $6,$ y luego a lo largo de su arco

The straight line to the honey cuts across the missing top cone, so the path runs tangent to the inner circle of radius $6,$ then along its arc

Solución:

Extiende el tronco a un cono completo. Como los radios son $3$ y $6$ con banda inclinada $6,$ el vértice está a distancia inclinada $6$ del borde superior y $12$ del borde inferior. La circunferencia inferior $12\pi$ se desenrolla en un sector de radio $12$ y ángulo $\dfrac{12\pi}{12}=\pi.$ Coloca al insecto en $(12,0)$ en este patrón; la miel, a mitad de camino alrededor de la base, está a radio $6$ y ángulo $\tfrac{\pi}{2}.$ La cuerda recta entre ellos pasa dentro del radio $6$ (fuera de la superficie), así que la geodésica va tangente al círculo de radio $6:$ la tangente tiene longitud $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3$ y toca en el ángulo $\tfrac{\pi}{3},$ tras lo cual la trayectoria sigue el arco de ángulo $\tfrac{\pi}{6}$ sobre el radio $6,$ de longitud $6\cdot\tfrac{\pi}{6}=\pi.$ La trayectoria más corta es $6\sqrt3+\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend the frustum to a full cone. Since the radii are $3$ and $6$ with slant band $6,$ the apex is slant distance $6$ from the top rim and $12$ from the bottom rim. The bottom circumference $12\pi$ unrolls to a sector of radius $12$ and angle $\dfrac{12\pi}{12}=\pi.$ Place the bug at $(12,0)$ in this pattern; the honey, halfway around the base, is at radius $6$ and angle $\tfrac{\pi}{2}.$ The straight chord between them passes within radius $6$ (off the surface), so the geodesic goes tangent to the circle of radius $6:$ the tangent has length $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3$ and touches at angle $\tfrac{\pi}{3},$ after which the path follows the arc of angle $\tfrac{\pi}{6}$ on radius $6,$ of length $6\cdot\tfrac{\pi}{6}=\pi.$ The shortest path is $6\sqrt3+\pi.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Una función de valores reales $f$ tiene la propiedad de que para todos los números reales $a$ y $b,$

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}$

¿Cuál de los siguientes no puede ser el valor de $f(1)$ ?

A real-valued function $f$ has the property that for all real numbers $a$ and $b,$

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}$

Which one of the following cannot be the value of $f(1)?$

$0$

$1$

$-1$

$2$

$-2$

Conceptos:ecuación funcional acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Haz $a=b=0$ para determinar $f(0),$ luego haz $a=b$ para relacionar $f(2a)$ con $f(a)$

Set $a=b=0$ to pin down $f(0),$ then set $a=b$ to relate $f(2a)$ to $f(a)$

Pista grande:

A partir de $a=b,$ $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1;$ tomando $a=\tfrac12$ se acota $f(1)$ por abajo

From $a=b,$ $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1;$ taking $a=\tfrac12$ bounds $f(1)$ from below

Solución:

Haciendo $a=b=0$ se obtiene $2f(0)=2f(0)^2,$ así que $f(0)=0$ o $f(0)=1.$ Si $f(0)=0,$ entonces haciendo $b=0$ se obliga a $f\equiv 0,$ lo que da $f(1)=0.$ En caso contrario $f(0)=1,$ y haciendo $a=b$ se obtiene $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ para todo $a.$ En particular, con $a=\tfrac12,$ $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.$ Así que $f(1)\ge -1,$ y de hecho todo valor en $[-1,\infty)$ es alcanzable (por ejemplo $f(x)=\cos(kx)$ o $\cosh(kx)$ ). Por lo tanto $-2$ es imposible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=2f(0)^2,$ so $f(0)=0$ or $f(0)=1.$ If $f(0)=0,$ then setting $b=0$ forces $f\equiv 0,$ giving $f(1)=0.$ Otherwise $f(0)=1,$ and setting $a=b$ gives $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ for every $a.$ In particular, with $a=\tfrac12,$ $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.$ So $f(1)\ge -1,$ and indeed every value in $[-1,\infty)$ is attainable (e.g. $f(x)=\cos(kx)$ or $\cosh(kx)$ ). Hence $-2$ is impossible.

Thus, the correct answer is E.

23.

Cuando se lanzan $n$ dados estándar de seis caras, el producto de los números obtenidos puede ser cualquiera de $936$ valores posibles. ¿Cuánto vale $n$ ?

When $n$ standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of $936$ possible values. What is $n?$

$11$

$6$

$8$

$10$

$9$

Conceptos:factorización en primos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Un producto queda determinado por los exponentes de $2,3,5,$ así que cuenta las ternas de exponentes distintas

A product is determined by the exponents of $2,3,5,$ so count the distinct exponent triples

Pista grande:

Después de fijar que exactamente $k$ dados muestran $5,$ cuenta los pares de exponentes posibles de $2$ y $3$ de los otros $m=n-k$ dados

After fixing that exactly $k$ dice show $5,$ count the possible exponent pairs of $2$ and $3$ from the other $m=n-k$ dice

Solución:

Cada dado aporta un vector de exponentes de los primos $2,3,5$ (las caras $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), y cada producto queda determinado por la suma de estos vectores.

Fijemos el exponente de $5$ exigiendo que exactamente $k$ dados muestren $5,$ y pongamos $m=n-k.$ Para un exponente $b$ de $3,$ con $0\le b\le m,$ los posibles exponentes $a$ de $2$ son precisamente $0,1,\ldots,2m-b.$ Si $a\le b,$ usamos $a$ caras con $6$ y $b-a$ caras con $3.$ Si $a\gt b,$ usamos $b$ caras con $6$ y formamos los $a-b$ factores restantes de $2$ con caras $4$ y, si hace falta, una cara $2.$ La cota $a\le 2m-b$ dice que esto usa a lo sumo $m$ dados; completamos con caras $1$ . Así, el número de pares de exponentes es $\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}$

Sumando sobre $k=0,1,\ldots,n$ , o equivalentemente sobre $m=0,1,\ldots,n,$ el número de productos distintos es $\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}$ Para $n=11$ , esto es $\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,$ así que $n=11.$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Each die contributes an exponent vector in the primes $2,3,5$ (face $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), and a product is determined by the sum of these vectors.

Fix the exponent of $5$ by requiring exactly $k$ dice to show $5,$ and put $m=n-k.$ For an exponent $b$ of $3,$ where $0\le b\le m,$ the possible exponents $a$ of $2$ are precisely $0,1,\ldots,2m-b.$ If $a\le b,$ use $a$ faces showing $6$ and $b-a$ showing $3.$ If $a\gt b,$ use $b$ faces showing $6$ and make the remaining $a-b$ factors of $2$ with faces $4$ and, if needed, one face $2.$ The bound $a\le 2m-b$ says this uses at most $m$ dice; fill unused dice with $1$ ’s. Thus the number of exponent pairs is $\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}$

Summing over $k=0,1,\ldots,n$ , equivalently over $m=0,1,\ldots,n,$ the number of distinct products is $\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}$ For $n=11$ this is $\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,$ so $n=11.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Supón que $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos que satisfacen todas las siguientes relaciones.

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

¿Cuánto vale $\gcd(a,b,c,d)$ ?

Suppose that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers satisfying all of the following relations.

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

What is $\gcd(a,b,c,d)?$

$30$

$45$

$3$

$15$

$6$

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Trabaja un primo a la vez; $\gcd$ usa el exponente mínimo y $\operatorname{lcm}$ el máximo

Work one prime at a time; $\gcd$ uses the minimum exponent and $\operatorname{lcm}$ the maximum

Pista grande:

Para cada primo, determina los cuatro exponentes a partir de las condiciones del máximo (lcm) y del total (producto), luego toma el mínimo

For each prime, pin down the four exponents from the max (lcm) and total (product) conditions, then take the minimum

Solución:

Trata cada primo por separado usando los exponentes de $a,b,c,d.$

Primo $2$ (total $6$ ): $\max(b,c)=1$ obliga a $a=3;$ luego $b+c+d=3$ con $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ da $d=2$ y $\{b,c\}=\{0,1\},$ así que el exponente mínimo es $0.$

Primo $3$ (total $9$ ): $\max(a,b)=2$ con los demás lcm iguales a $3$ obliga a $c=d=3;$ luego $a+b=3$ con $\max(a,b)=2$ da $\{a,b\}=\{1,2\},$ así que el mínimo es $1.$

Primo $5$ (total $7$ ): $\max(a,b)=3$ con $\max(b,c),$ $\max(b,d),\max(c,d)=2$ obliga a $a=3;$ luego $b+c+d=4$ con cada uno $\le 2$ y máximos por pares $2$ da dos de ellos iguales a $2$ y uno igual a $0,$ así que el mínimo es $0.$

Por lo tanto $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Handle each prime separately using the exponents of $a,b,c,d.$

Prime $2$ (total $6$ ): $\max(b,c)=1$ forces $a=3;$ then $b+c+d=3$ with $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ gives $d=2$ and $\{b,c\}=\{0,1\},$ so the minimum exponent is $0.$

Prime $3$ (total $9$ ): $\max(a,b)=2$ with the other lcms equal to $3$ forces $c=d=3;$ then $a+b=3$ with $\max(a,b)=2$ gives $\{a,b\}=\{1,2\},$ so the minimum is $1.$

Prime $5$ (total $7$ ): $\max(a,b)=3$ with $\max(b,c),$ $\max(b,d),\max(c,d)=2$ forces $a=3;$ then $b+c+d=4$ with each $\le 2$ and pairwise maxima $2$ gives two of them equal to $2$ and one equal to $0,$ so the minimum is $0.$

Therefore $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Un pentágono regular con área $\sqrt{5}+1$ se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area $\sqrt{5}+1$ is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

$4-\sqrt{5}$

$\sqrt{5}-1$

$8-3\sqrt{5}$

$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\dfrac{2+\sqrt{5}}{3}$

Conceptos:polígono regular plegado de papel razón de áreas

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Doblar un vértice hacia el centro crea un pliegue a lo largo de la mediatriz del segmento que va del centro a ese vértice

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex

Pista grande:

El nuevo pentágono es regular con apotema $\frac{R}{2};$ compárala con la apotema original $R\cos 36^\circ$

The new pentagon is regular with apothem $\frac{R}{2};$ compare to the original apothem $R\cos 36^\circ$

Solución:

Sea el circunradio del pentágono original $R.$ Doblar un vértice hacia el centro crea un pliegue a lo largo de la mediatriz del segmento que va del centro a ese vértice, una recta a distancia $\tfrac{R}{2}$ del centro. Los cinco pliegues delimitan un pentágono regular con apotema $\tfrac{R}{2},$ mientras que el original tiene apotema $R\cos 36^\circ.$ Las áreas escalan como el cuadrado de la apotema, así que la razón es $\frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.$ Como $\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},$ esta razón es $\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}$ $=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}$ $=\tfrac{2}{3+\sqrt5}$ $=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Multiplicando por el área original $\sqrt5+1$ se obtiene $\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}$ $=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}$ $=\sqrt5-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original pentagon have circumradius $R.$ Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex, a line at distance $\tfrac{R}{2}$ from the center. The five creases bound a regular pentagon with apothem $\tfrac{R}{2},$ whereas the original has apothem $R\cos 36^\circ.$ Areas scale as the square of the apothem, so the ratio is $\frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.$ Since $\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},$ this ratio is $\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}$ $=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}$ $=\tfrac{2}{3+\sqrt5}$ $=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Multiplying by the original area $\sqrt5+1$ gives $\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}$ $=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}$ $=\sqrt5-1.$

Thus, the correct answer is B.