Question

¿Cuál es el valor de la siguiente suma?

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

What is the value of

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

$\dfrac{3}{4}$

$1 - \dfrac{1}{\log_2 255}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{15}{16}$

$1$

Solución:

Sea $a_n = \log_2 n.$ El numerador es igual a $a_{n+1} - a_n,$ así que cada término es $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Al telescopiar desde $n = 2$ hasta $255$ queda $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a_n = \log_2 n.$ The numerator equals $a_{n+1} - a_n,$ so each term is $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Telescoping from $n = 2$ to $255$ leaves $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años