Question

Si la operación $x*y$ se define mediante $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

If the operation $x*y$ is defined by $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ then which one of the following is false?

$x*y=y*x$ para todos los números reales $x$ y $y.$

$x*y=y*x$ for all real $x$ and $y.$

$x*(y+z)$ es igual a $(x*y)+(x*z)$ para todos los números reales $x,$ $y,$ y $z.$

$x*(y+z)$ equals $(x*y)+(x*z)$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

$(x-1)*(x+1)$ es igual a $(x*x)-1$ para todo número real $x.$

$(x-1)*(x+1)$ equals $(x*x)-1$ for all real $x.$

$x*0=x$ para todo número real $x.$

$x*0=x$ for all real $x.$

$x*(y*z)=(x*y)*z$ para todos los números reales $x,$ $y,$ y $z.$

$x*(y*z)=(x*y)*z$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

Respuesta: B

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva contraejemplo

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Primero simplifica la operación a $x+y+xy$

First simplify the operation to $x+y+xy$

Pista grande:

Prueba la ley distributiva propuesta con $x=1$ y $y=z=0$

Test the proposed distributive law with $x=1$ and $y=z=0$

Solución:

Como $x*y=x+y+xy,$ la operación es conmutativa, tiene elemento neutro $0,$ y se convierte en multiplicación ordinaria después de sumar $1.$ Por ello es asociativa, y la expansión directa también verifica C. El enunciado B falla cuando $x=1$ y $y=z=0:$ su lado izquierdo es $1*0=1,$ pero su lado derecho es $(1*0)+(1*0)=2.$ Por tanto, B es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $x*y=x+y+xy,$ the operation is commutative, has identity $0,$ and becomes ordinary multiplication after adding $1.$ Thus it is associative, and direct expansion also verifies C. Statement B fails when $x=1$ and $y=z=0:$ its left side is $1*0=1,$ but its right side is $(1*0)+(1*0)=2.$ Hence B is false.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años