1982 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

Cuando el polinomio $x^3-2$ se divide entre el polinomio $x^2-2,$ el residuo es

When the polynomial $x^3-2$ is divided by the polynomial $x^2-2,$ the remainder is

$2$

$-2$

$-2x-2$

$2x+2$

$2x-2$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Trabaja módulo $x^2-2$

Work modulo $x^2-2$

Pista grande:

Sustituye $x^2$ por $2$ en $x^3-2$

Replace $x^2$ by $2$ in $x^3-2$

Solución:

Módulo $x^2-2,$ tenemos $x^2\equiv2,$ así que $x^3-2\equiv2x-2.$ Este polinomio lineal es el residuo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo $x^2-2,$ we have $x^2\equiv2,$ so $x^3-2\equiv2x-2.$ This linear polynomial is the remainder.

Therefore, the correct answer is E.

2.

Si ocho veces $x$ se aumenta en dos, entonces la cuarta parte del resultado es

If a number eight times as large as $x$ is increased by two, then one fourth of the result equals

$2x+\frac12$

$x+\frac12$

$2x+2$

$2x+4$

$2x+16$

Respuesta: A

Conceptos:orden de las operaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Traduce las dos primeras operaciones antes de dividir

Translate the first two operations before dividing

Pista grande:

Simplifica $\frac{8x+2}{4}$ término a término

Simplify $\frac{8x+2}{4}$ term by term

Solución:

Ocho veces $x,$ aumentado en dos, es $8x+2.$ Su cuarta parte es $\frac{8x+2}{4}=2x+\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Eight times $x,$ increased by two, is $8x+2.$ One fourth is $\frac{8x+2}{4}=2x+\frac12.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

Evalúa $(x^x)^{(x^x)}$ en $x=2.$

Evaluate $(x^x)^{(x^x)}$ at $x=2.$

$16$

$64$

$256$

$1024$

$65{,}536$

Respuesta: C

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Evalúa primero el $x^x$ interior

Evaluate the inner $x^x$ first

Pista grande:

El mismo valor se convierte tanto en la base como en el exponente

The same value becomes both the base and exponent

Solución:

Para $x=2,$ $x^x=2^2=4.$ Por tanto, $(x^x)^{(x^x)}=4^4=256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At $x=2,$ $x^x=2^2=4.$ Hence $(x^x)^{(x^x)}=4^4=256.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

El perímetro de una región semicircular, medido en centímetros, es numéricamente igual a su área, medida en centímetros cuadrados. El radio del semicírculo, medido en centímetros, es

The perimeter of a semicircular region, measured in centimeters, is numerically equal to its area, measured in square centimeters. The radius of the semicircle, measured in centimeters, is

$\pi$

$\frac2\pi$

$1$

$\frac12$

$\frac4\pi+2$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencia perímetro área manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Incluye el diámetro en el perímetro de la región

Include the diameter in the perimeter of the region

Pista grande:

Iguala $\pi r+2r$ a $\frac{\pi r^2}{2}$

Set $\pi r+2r$ equal to $\frac{\pi r^2}{2}$

Solución:

Para $r\gt0,$ la igualdad del perímetro y el área da $\pi r+2r=\frac{\pi r^2}{2}.$ Al dividir entre $r$ y resolver se obtiene $r=\frac{2(\pi+2)}{\pi}=2+\frac{4}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $r\gt0,$ equality of perimeter and area gives $\pi r+2r=\frac{\pi r^2}{2}.$ Dividing by $r$ and solving yields $r=\frac{2(\pi+2)}{\pi}=2+\frac{4}{\pi}.$

Therefore, the correct answer is E.

5.

Dos números positivos $x$ y $y$ están en la razón $a:b,$ donde $0\lt a\lt b.$ Si $x+y=c,$ entonces el menor de $x$ y $y$ es

Two positive numbers $x$ and $y$ are in the ratio $a:b,$ where $0\lt a\lt b.$ If $x+y=c,$ then the smaller of $x$ and $y$ is

$\frac{ac}{b}$

$\frac{bc-ac}{b}$

$\frac{ac}{a+b}$

$\frac{bc}{a+b}$

$\frac{ac}{b-a}$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Escribe los números como $ka$ y $kb$

Write the numbers as $ka$ and $kb$

Pista grande:

Usa su suma para determinar el factor de escala común

Use their sum to determine the common scale factor

Solución:

Escribe $x=ka$ y $y=kb.$ Como $a\lt b,$ $x$ es menor. De $k(a+b)=c,$ se obtiene $k=\frac{c}{a+b},$ así que $x=\frac{ac}{a+b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write $x=ka$ and $y=kb.$ Since $a\lt b,$ $x$ is smaller. From $k(a+b)=c,$ $k=\frac{c}{a+b},$ so $x=\frac{ac}{a+b}.$

Therefore, the correct answer is C.

6.

La suma de todos menos uno de los ángulos interiores de un polígono convexo es $2570^\circ.$ El ángulo restante es

The sum of all but one of the interior angles of a convex polygon equals $2570^\circ.$ The remaining angle is

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

$130^\circ$

$144^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:suma de ángulos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

La suma total de los ángulos interiores de un polígono es múltiplo de $180^\circ$

A polygon’s total interior angle sum is a multiple of $180^\circ$

Pista grande:

El ángulo convexo faltante debe situar el total estrictamente entre $2570^\circ$ y $2750^\circ$

The missing convex angle must place the total strictly between $2570^\circ$ and $2750^\circ$

Solución:

El total debe ser $(n-2)180^\circ$ y el ángulo faltante está entre $0^\circ$ y $180^\circ.$ El único múltiplo de $180^\circ$ entre $2570^\circ$ y $2750^\circ$ es $2700^\circ,$ por lo que queda $2700^\circ-2570^\circ=130^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total must be $(n-2)180^\circ$ and the missing angle lies between $0^\circ$ and $180^\circ.$ The only multiple of $180^\circ$ between $2570^\circ$ and $2750^\circ$ is $2700^\circ,$ leaving $2700^\circ-2570^\circ=130^\circ.$

Therefore, the correct answer is D.

7.

Si la operación $x*y$ se define mediante $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

If the operation $x*y$ is defined by $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ then which one of the following is false?

$x*y=y*x$ para todos los números reales $x$ y $y.$

$x*y=y*x$ for all real $x$ and $y.$

$x*(y+z)$ es igual a $(x*y)+(x*z)$ para todos los números reales $x,$ $y,$ y $z.$

$x*(y+z)$ equals $(x*y)+(x*z)$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

$(x-1)*(x+1)$ es igual a $(x*x)-1$ para todo número real $x.$

$(x-1)*(x+1)$ equals $(x*x)-1$ for all real $x.$

$x*0=x$ para todo número real $x.$

$x*0=x$ for all real $x.$

$x*(y*z)=(x*y)*z$ para todos los números reales $x,$ $y,$ y $z.$

$x*(y*z)=(x*y)*z$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

Respuesta: B

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva contraejemplo

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Primero simplifica la operación a $x+y+xy$

First simplify the operation to $x+y+xy$

Pista grande:

Prueba la ley distributiva propuesta con $x=1$ y $y=z=0$

Test the proposed distributive law with $x=1$ and $y=z=0$

Solución:

Como $x*y=x+y+xy,$ la operación es conmutativa, tiene elemento neutro $0,$ y se convierte en multiplicación ordinaria después de sumar $1.$ Por ello es asociativa, y la expansión directa también verifica C. El enunciado B falla cuando $x=1$ y $y=z=0:$ su lado izquierdo es $1*0=1,$ pero su lado derecho es $(1*0)+(1*0)=2.$ Por tanto, B es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $x*y=x+y+xy,$ the operation is commutative, has identity $0,$ and becomes ordinary multiplication after adding $1.$ Thus it is associative, and direct expansion also verifies C. Statement B fails when $x=1$ and $y=z=0:$ its left side is $1*0=1,$ but its right side is $(1*0)+(1*0)=2.$ Hence B is false.

Therefore, the correct answer is B.

8.

Por definición, $r!=r(r-1)\cdots1$ y $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ donde $r,$ $j,$ $k$ son enteros positivos y $k\lt j.$ Si $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ forman una progresión aritmética con $n\gt3,$ entonces $n$ es igual a

By definition $r!=r(r-1)\cdots1$ and $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ where $r,$ $j,$ $k$ are positive integers and $k\lt j.$ If $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ form an arithmetic progression with $n\gt3,$ then $n$ equals

$5$

$7$

$9$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:factorial combinaciones sucesión aritmética cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

El término central de una progresión aritmética es el promedio de sus vecinos

The middle term of an arithmetic progression is the average of its neighbors

Pista grande:

Sustituye las fórmulas factoriales en $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

Substitute the factorial formulas into $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

Solución:

La condición de progresión es $2\binom n2=\binom n1+\binom n3.$ Al sustituir y cancelar se obtiene $n^2-9n+14=0,$ o bien $(n-2)(n-7)=0.$ Como $n\gt3,$ resulta $n=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The progression condition is $2\binom n2=\binom n1+\binom n3.$ Substitution and cancellation give $n^2-9n+14=0,$ or $(n-2)(n-7)=0.$ Since $n\gt3,$ $n=7.$

Therefore, the correct answer is B.

9.

Una recta vertical divide el triángulo de vértices $(0,0),$ $(1,1)$ y $(9,1)$ en el plano $xy$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta es $x=$

A vertical line divides the triangle with vertices $(0,0),$ $(1,1)$ and $(9,1)$ in the $xy$ -plane into two regions of equal area. The equation of the line is $x=$

$2.5$

$3.0$

$3.5$

$4.0$

$4.5$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica área cálculo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Para $1\le x\le9,$ el triángulo está entre $y=\frac{x}{9}$ y $y=1$

For $1\le x\le9,$ the triangle lies between $y=\frac{x}{9}$ and $y=1$

Pista grande:

Iguala el área acumulada a la mitad del área total del triángulo

Set the accumulated area to one half of the triangle’s total area

Solución:

El triángulo tiene área $4.$ La parte con $0\le x\le1$ tiene área $\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.$ Para un corte $x=t\ge1,$ el área a su izquierda es $\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.$ Al igualarla a $2$ se obtiene $t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},$ cuya solución pertinente es $t=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The triangle has area $4.$ The portion with $0\le x\le1$ has area $\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.$ For a cut $x=t\ge1,$ the area to its left is therefore $\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.$ Setting this equal to $2$ gives $t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},$ whose relevant solution is $t=3.$

Therefore, the correct answer is B.

10.

En el diagrama adjunto, $BO$ biseca $\angle CBA,$ $CO$ biseca $\angle ACB,$ y $MN$ es paralela a $BC.$ Si $AB=12,$ $BC=24,$ y $AC=18,$ entonces el perímetro de $\triangle AMN$ es

In the adjoining diagram, $BO$ bisects $\angle CBA,$ $CO$ bisects $\angle ACB,$ and $MN$ is parallel to $BC.$ If $AB=12,$ $BC=24,$ and $AC=18,$ then the perimeter of $\triangle AMN$ is

$30$

$33$

$36$

$39$

$42$

Respuesta: A

Conceptos:semejanza circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón perímetro

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como $O$ es el incentro, su distancia a $BC$ es el inradio

Because $O$ is the incenter, its distance from $BC$ is the inradius

Pista grande:

Compara la altura de $\triangle AMN$ con la altura de $\triangle ABC$

Compare the altitude of $\triangle AMN$ with the altitude of $\triangle ABC$

Solución:

Los lados $12,$ $18,$ $24$ tienen semiperímetro $27$ y área $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},$ así que el inradio es $r=\sqrt{15}.$ Tomando $BC$ como base, la altura es $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.$ Por tanto, la razón de semejanza de $\triangle ABC$ a $\triangle AMN$ es $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$ Su perímetro es $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides $12,$ $18,$ $24$ have semiperimeter $27$ and area $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},$ so the inradius is $r=\sqrt{15}.$ Taking $BC$ as base, the altitude is $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.$ Thus the similarity scale from $\triangle ABC$ to $\triangle AMN$ is $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$ Its perimeter is $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

¿Cuántos enteros de cuatro cifras distintas hay entre $1{,}000$ y $9{,}999$ tales que el valor absoluto de la diferencia entre la primera cifra y la última sea $2$ ?

How many integers with four different digits are there between $1{,}000$ and $9{,}999$ such that the absolute value of the difference between the first digit and the last digit is $2?$

$672$

$784$

$840$

$896$

$1{,}008$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos conteo básico análisis por casos

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cuenta primero los pares ordenados permitidos de primera y última cifra

First count the allowed ordered pairs of first and last digits

Pista grande:

Una vez fijadas esas cifras, elige dos cifras centrales distintas entre las ocho restantes

Once those digits are fixed, choose two distinct middle digits from the remaining eight

Solución:

Para las primeras cifras $1,\ldots,9,$ la cantidad de últimas cifras posibles que difieren en $2$ es $1+1+2+2+2$ más $2+2+1+1,$ es decir, $14.$ Además, un número cuya primera cifra es $2$ puede terminar en $0,$ lo que da $15$ pares de cifras extremas. Las cifras centrales se pueden elegir entonces de $8\cdot7$ maneras ordenadas. Por tanto, la cantidad es $15\cdot56=840.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For leading digits $1,\ldots,9,$ the number of possible last digits differing by $2$ is $1+1+2+2+2$ plus $2+2+1+1,$ or $14.$ In addition, leading digit $2$ may end in $0,$ giving $15$ endpoint pairs. The middle digits can then be chosen in $8\cdot7$ ordered ways. Thus the count is $15\cdot56=840.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

Sea $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son constantes. Si $f(-7)=7,$ entonces $f(7)$ es igual a

Let $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are constants. If $f(-7)=7,$ then $f(7)$ equals

$-17$

$-7$

$14$

$21$

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: A

Conceptos:simetría (álgebra)polinomio función

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Separa el término constante de los términos de potencia impar

Separate the constant term from the odd-powered terms

Pista grande:

Si $g(x)=f(x)+5,$ compara $g(7)$ con $g(-7)$

If $g(x)=f(x)+5,$ compare $g(7)$ and $g(-7)$

Solución:

Sea $g(x)=ax^7+bx^3+cx,$ que es una función impar. Como $f(-7)=g(-7)-5=7,$ se tiene $g(-7)=12.$ Por lo tanto, $g(7)=-12,$ y $f(7)=-12-5=-17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $g(x)=ax^7+bx^3+cx,$ which is odd. Since $f(-7)=g(-7)-5=7,$ $g(-7)=12.$ Therefore $g(7)=-12,$ and $f(7)=-12-5=-17.$

Therefore, the correct answer is A.

13.

Si $a\gt1,$ $b\gt1$ y $p=\frac{\log_b(\log_ba)}{\log_ba},$ entonces $a^p$ es igual a

If $a\gt1,$ $b\gt1$ and $p=\frac{\log_b(\log_ba)}{\log_ba},$ then $a^p$ equals

$1$

$b$

$\log_ab$

$\log_ba$

$a^{\log_ba}$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $t=\log_ba,$ de modo que $a=b^t$

Let $t=\log_ba,$ so $a=b^t$

Pista grande:

Reescribe $p$ como $\frac{\log_bt}{t}$

Rewrite $p$ as $\frac{\log_bt}{t}$

Solución:

Sea $t=\log_ba,$ de modo que $a=b^t$ y $p=\frac{\log_bt}{t}.$ Entonces $a^p=(b^t)^{\frac{\log_bt}{t}},$ que es igual a $b^{\log_bt}=t.$ Por lo tanto, $a^p=\log_ba.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $t=\log_ba,$ so $a=b^t$ and $p=\frac{\log_bt}{t}.$ Then $a^p=(b^t)^{\frac{\log_bt}{t}},$ which equals $b^{\log_bt}=t.$ Therefore $a^p=\log_ba.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

En la figura adjunta, los puntos $B$ y $C$ están en el segmento $AD,$ y $AB,$ $BC,$ y $CD$ son los diámetros de los círculos $O,$ $N,$ y $P,$ respectivamente. Los círculos $O,$ $N,$ y $P$ tienen radio $15,$ y la recta $AG$ es tangente al círculo $P$ en $G.$ Si $AG$ corta al círculo $N$ en los puntos $E$ y $F,$ entonces la longitud de la cuerda $EF$ es

In the adjoining figure, points $B$ and $C$ lie on line segment $AD,$ and $AB,$ $BC,$ and $CD$ are diameters of circles $O,$ $N,$ and $P,$ respectively. Circles $O,$ $N,$ and $P$ all have radius $15,$ and the line $AG$ is tangent to circle $P$ at $G.$ If $AG$ intersects circle $N$ at points $E$ and $F,$ then chord $EF$ has length

$20$

$15\sqrt2$

$24$

$25$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente cuerda semejanza

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo $APG$ para hallar la distancia de $N$ a la recta $AG$

Use right triangle $APG$ to find the distance from $N$ to line $AG$

Pista grande:

Una cuerda a distancia $d$ del centro de un círculo tiene longitud $2\sqrt{r^2-d^2}$

A chord at distance $d$ from a circle’s center has length $2\sqrt{r^2-d^2}$

Solución:

Aquí $AP=75,$ $PG=15,$ y $AG\perp PG.$ La distancia de $N$ a $AG$ varía en la proporción $\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75},$ por lo que es $15(\frac{45}{75})=9.$ Por lo tanto, la cuerda del círculo de radio $15$ tiene longitud $2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $AP=75,$ $PG=15,$ and $AG\perp PG.$ The distance from $N$ to $AG$ scales with $\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75},$ so it is $15(\frac{45}{75})=9.$ Therefore the chord in the radius- $15$ circle has length $2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

Sea $\lfloor z\rfloor$ el mayor entero que no excede a $z.$ Sean $x$ y $y$ soluciones del sistema $\begin{aligned} y&=2\lfloor x\rfloor+3,\\ y&=3\lfloor x-2\rfloor+5. \end{aligned}$ Si $x$ no es un entero, entonces $x+y$ es

Let $\lfloor z\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $z.$ Let $x$ and $y$ satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} y&=2\lfloor x\rfloor+3,\\ y&=3\lfloor x-2\rfloor+5. \end{aligned}$ If $x$ is not an integer, then $x+y$ is

un entero

an integer

un número entre $4$ y $5$

between $4$ and $5$

un número entre $-4$ y $4$

between $-4$ and $4$

un número entre $15$ y $16$

between $15$ and $16$

$16.5$

Respuesta: D

Conceptos:funciones piso y techo sistema de ecuaciones desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Para $x$ no entero, relaciona $\lfloor x-2\rfloor$ con $\lfloor x\rfloor$

For nonintegral $x,$ relate $\lfloor x-2\rfloor$ to $\lfloor x\rfloor$

Pista grande:

Sea $n=\lfloor x\rfloor$ e iguala las dos fórmulas de $y$

Let $n=\lfloor x\rfloor$ and equate the two formulas for $y$

Solución:

Para $x$ no entero, sea $n=\lfloor x\rfloor;$ entonces $\lfloor x-2\rfloor=n-2.$ Por tanto, $2n+3=3(n-2)+5,$ de donde $n=4$ y $y=11.$ Como $4\lt x\lt5,$ se tiene $15\lt x+y\lt16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For nonintegral $x,$ let $n=\lfloor x\rfloor;$ then $\lfloor x-2\rfloor=n-2.$ Thus $2n+3=3(n-2)+5,$ so $n=4$ and $y=11.$ Since $4\lt x\lt5,$ we have $15\lt x+y\lt16.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

En la figura adjunta, un cubo de madera tiene aristas de $3$ metros. En cada cara se abre un agujero cuadrado de un metro de lado, centrado en ella, que atraviesa el cubo hasta la cara opuesta. Los lados de los agujeros son paralelos a las aristas del cubo. El área total de la superficie, incluido el interior de los agujeros, en metros cuadrados, es

In the adjoining figure, a wooden cube has edges of length $3$ meters. Square holes of side one meter, centered in each face, are cut through to the opposite face. The edges of the holes are parallel to the edges of the cube. The entire surface area including the inside, in square meters, is

$54$

$72$

$76$

$84$

$86$

Respuesta: B

Conceptos:área de superficie geometría del cubo Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Empieza con las caras exteriores después de quitar sus cuadrados centrales

Start with the outer faces after removing their central squares

Pista grande:

Para cada uno de los tres túneles, calcula la parte de sus cuatro paredes interiores que no eliminan los túneles perpendiculares

For each of the three tunnels, count the four interior walls not removed by the crossing tunnels

Solución:

Las seis caras exteriores aportan $6(3^2-1^2)=48.$ Cada uno de los tres túneles cuadrados de longitud $3$ tiene cuatro paredes interiores, pero un túnel perpendicular quita la franja central de ancho unitario de cada pared, de modo que queda un área de $2$ por pared. Así, el interior aporta $3\cdot4\cdot2=24.$ El total es $48+24=72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six outer faces contribute $6(3^2-1^2)=48.$ Each of the three length- $3$ square tunnels has four inner walls, but the central unit segment of every wall is removed by a perpendicular tunnel, leaving area $2$ per wall. Thus the inside contributes $3\cdot4\cdot2=24.$ The total is $48+24=72.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0$ ?

How many real numbers $x$ satisfy the equation $3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:exponente sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Sustituye $t=3^x,$ teniendo en cuenta que $t\gt0$

Substitute $t=3^x,$ noting that $t\gt0$

Pista grande:

La ecuación se convierte en una cuadrática en $t$

The equation becomes a quadratic in $t$

Solución:

Sea $t=3^x\gt0.$ Entonces $9t^2-28t+3=0,$ cuyas raíces son $t=3$ y $t=\frac{1}{9}.$ Ambas son positivas y cada una corresponde a un único número real $x,$ así que hay $2$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $t=3^x\gt0.$ Then $9t^2-28t+3=0,$ whose roots are $t=3$ and $t=\frac{1}{9}.$ Both are positive and each corresponds to one real $x,$ so there are $2$ solutions.

Therefore, the correct answer is C.

18.

En la figura adjunta de un ortoedro, $\angle DHG=45^\circ$ y $\angle FHB=60^\circ.$ Halla el coseno de $\angle BHD.$

In the adjoining figure of a rectangular solid, $\angle DHG=45^\circ$ and $\angle FHB=60^\circ.$ Find the cosine of $\angle BHD.$

$\frac{\sqrt3}{6}$

$\frac{\sqrt2}{6}$

$\frac{\sqrt6}{3}$

$\frac{\sqrt6}{4}$

$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:prisma rectangular vector Geometría 3D trigonometría

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Asigna coordenadas con origen en $H$ a lo largo de las tres aristas mutuamente perpendiculares

Assign coordinates at $H$ along the three mutually perpendicular edges

Pista grande:

Convierte los dos ángulos dados en relaciones entre las tres longitudes de arista y luego usa un producto escalar

Translate the two given angles into relationships among the three edge lengths, then use a dot product

Solución:

Sean $H=(0,0,0),$ $F=(u,0,0),$ $G=(0,v,0),$ y $C=(0,0,w).$ Entonces $B=(u,0,w)$ y $D=(0,v,w).$ La condición de $60^\circ$ da $w=\sqrt3u,$ mientras que la condición de $45^\circ$ da $v=w.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $H=(0,0,0),$ $F=(u,0,0),$ $G=(0,v,0),$ and $C=(0,0,w).$ Then $B=(u,0,w)$ and $D=(0,v,w).$ The $60^\circ$ condition gives $w=\sqrt3u,$ while the $45^\circ$ condition gives $v=w.$ Hence $\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

19.

Sea $f(x)=|x-2|+|x-4|$ $-|2x-6|,$ para $2\le x\le8.$ La suma de los valores máximo y mínimo de $f(x)$ es

Let $f(x)=|x-2|+|x-4|$ $-|2x-6|,$ for $2\le x\le8.$ The sum of the largest and smallest values of $f(x)$ is

$1$

$2$

$4$

$6$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto función optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Divide el intervalo en los ceros $2,$ $3,$ y $4$

Break the interval at the zeros $2,$ $3,$ and $4$

Pista grande:

Simplifica $f(x)$ en cada intervalo resultante

Simplify $f(x)$ on each resulting interval

Solución:

En $[2,3],$ se tiene $f(x)=2x-4;$ en $[3,4],$ se tiene $f(x)=8-2x;$ y en $[4,8],$ se tiene $f(x)=0.$ Así, el mínimo es $0$ y el máximo es $2,$ cuya suma es $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On $[2,3],$ $f(x)=2x-4;$ on $[3,4],$ $f(x)=8-2x;$ and on $[4,8],$ $f(x)=0.$ Thus the minimum is $0$ and the maximum is $2,$ whose sum is $2.$

Therefore, the correct answer is B.

20.

La cantidad de pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $x^2+y^2=x^3$ es

The number of pairs of positive integers $(x,y)$ which satisfy the equation $x^2+y^2=x^3$ is

$0$

$1$

$2$

infinita

not finite

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Reordena la ecuación como $y^2=x^2(x-1)$

Rearrange as $y^2=x^2(x-1)$

Pista grande:

Elige $x-1$ como un cuadrado perfecto

Choose $x-1$ to be a perfect square

Solución:

Para cada entero positivo $k,$ toma $x=k^2+1$ y $y=k(k^2+1)=kx.$ Entonces $y^2=k^2x^2=x^2(x-1),$ por lo que $x^2+y^2=x^3.$ Esto produce infinitos pares de enteros positivos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For every positive integer $k,$ take $x=k^2+1$ and $y=k(k^2+1)=kx.$ Then $y^2=k^2x^2=x^2(x-1),$ so $x^2+y^2=x^3.$ This supplies infinitely many positive-integer pairs.

Therefore, the correct answer is D.

21.

En la figura adjunta, el triángulo $ABC$ es rectángulo con $\angle BCA=90^\circ.$ La mediana $CM$ es perpendicular a la mediana $BN,$ y el lado $BC=s.$ La longitud de $BN$ es

In the adjoining figure, the triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle BCA=90^\circ.$ Median $CM$ is perpendicular to median $BN,$ and side $BC=s.$ The length of $BN$ is

$s\sqrt2$

$\frac32s\sqrt2$

$2s\sqrt2$

$\frac{s\sqrt5}{2}$

$\frac{s\sqrt6}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:mediana (geometría)geometría analítica vector triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sitúa $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ y $A=(t,0)$

Place $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ and $A=(t,0)$

Pista grande:

Usa un producto escalar con las direcciones de las dos medianas

Use a dot product for the directions of the two medians

Solución:

Fija $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ y $A=(t,0).$ Entonces $M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})$ y $N=(\frac{t}{2},0).$ La perpendicularidad da $(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,$ y por tanto $t^2=2s^2.$ Así, $\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ and $A=(t,0).$ Then $M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})$ and $N=(\frac{t}{2},0).$ Perpendicularity gives $(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,$ hence $t^2=2s^2.$ Therefore $\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

22.

En un callejón estrecho de ancho $w,$ se coloca una escalera de longitud $a$ con el pie en un punto $P$ entre las paredes. Al apoyarla contra una pared en $Q,$ a una altura $k$ sobre el suelo, la escalera forma un ángulo de $45^\circ$ con el suelo. Al apoyarla contra la otra pared en $R,$ a una altura $h$ sobre el suelo, forma un ángulo de $75^\circ$ con el suelo. El ancho $w$ es igual a

In a narrow alley of width $w$ a ladder of length $a$ is placed with its foot at a point $P$ between the walls. Resting against one wall at $Q,$ a distance $k$ above the ground, the ladder makes a $45^\circ$ angle with the ground. Resting against the other wall at $R,$ a distance $h$ above the ground, the ladder makes a $75^\circ$ angle with the ground. The width $w$ is equal to

$a$

$RQ$

$k$

$\frac{h+k}{2}$

$h$

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Expresa mediante cosenos los dos tramos horizontales del callejón

Express the two horizontal portions of the alley using cosines

Pista grande:

Compara $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ con $\sin75^\circ$

Compare $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ with $\sin75^\circ$

Solución:

Las distancias horizontales de $P$ a las paredes son $a\cos75^\circ$ y $a\cos45^\circ,$ así que $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).$ La identidad de suma a producto da $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.$ Como $h=a\sin75^\circ,$ se tiene $w=h.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The horizontal distances from $P$ to the walls are $a\cos75^\circ$ and $a\cos45^\circ,$ so $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).$ The sum-to-product identity gives $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.$ Since $h=a\sin75^\circ,$ $w=h.$

Therefore, the correct answer is E.

23.

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros consecutivos, y el ángulo mayor es el doble del ángulo menor. El coseno del ángulo menor es

The lengths of the sides of a triangle are consecutive integers, and the largest angle is twice the smallest angle. The cosine of the smallest angle is

$\frac34$

$\frac7{10}$

$\frac23$

$\frac9{14}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sean el ángulo menor y el mayor $\theta$ y $2\theta$ , respectivamente

Let the smallest and largest angles be $\theta$ and $2\theta$

Pista grande:

Usa la ley de los senos para comparar el lado más corto con el más largo

Use the law of sines to compare the shortest and longest consecutive sides

Solución:

Sean los lados consecutivos $n,$ $n+1,$ $n+2,$ opuestos a los ángulos $\theta,$ $\phi,$ $2\theta.$ Por la ley de los senos, $\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.$ La ley de los cosenos aplicada al ángulo menor también da $\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.$ Al igualar estas expresiones se obtiene $n^2-3n-4=0,$ por lo que $n=4.$ Así, los lados son $4,$ $5,$ $6$ y $\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the consecutive sides be $n,$ $n+1,$ $n+2,$ opposite angles $\theta,$ $\phi,$ $2\theta.$ By the law of sines, $\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.$ The law of cosines at the smallest angle also gives $\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.$ Equating these expressions yields $n^2-3n-4=0,$ so $n=4.$ Hence the sides are $4,$ $5,$ $6$ and $\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

En la figura adjunta, el círculo corta los lados de un triángulo equilátero en seis puntos. Si $AG=2,$ $GF=13,$ $FC=1$ y $HJ=7,$ entonces $DE$ es igual a

In the adjoining figure, the circle meets the sides of an equilateral triangle at six points. If $AG=2,$ $GF=13,$ $FC=1$ and $HJ=7,$ then $DE$ equals

$2\sqrt{22}$

$7\sqrt3$

$9$

$10$

$13$

Respuesta: A

Conceptos:potencia de un punto círculo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Los tres lados del triángulo tienen longitud $16$

All three sides of the triangle have length $16$

Pista grande:

Aplica la potencia de un punto desde $A,$ $B,$ y $C$ para relacionar los dos segmentos de la base con $DE$

Apply power of a point from $A,$ $B,$ and $C$ to relate the two base segments and $DE$

Solución:

Primero, la potencia de $A$ da $AH(AH+7)=AG\cdot AF.$ Este último producto es $2\cdot15=30,$ así que $AH=3,$ $BJ=6,$ y $BH=13.$ Sean $BD=u,$ $DE=x,$ $EC=v.$ A partir de las secantes desde $B$ y $C,$ $\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned}$ Además, $u+x+v=16.$ Al restar las ecuaciones de potencia y usar la suma se obtiene $u-v=4.$ Por tanto, $u=10-\frac{x}{2}$ y $v=6-\frac{x}{2}.$ Sustituir en $v(v+x)=14$ da $x^2=88,$ así que $DE=2\sqrt{22}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

First, power of $A$ gives $AH(AH+7)=AG\cdot AF.$ The latter product is $2\cdot15=30,$ so $AH=3,$ $BJ=6,$ and $BH=13.$ Let $BD=u,$ $DE=x,$ $EC=v.$ From the secants at $B$ and $C,$ $\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned}$ Also $u+x+v=16.$ Subtracting the power equations and using the sum gives $u-v=4.$ Hence $u=10-\frac{x}{2}$ and $v=6-\frac{x}{2}.$ Substitution into $v(v+x)=14$ gives $x^2=88,$ so $DE=2\sqrt{22}.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

La figura adjunta es un mapa de una parte de una ciudad: los rectángulos pequeños son manzanas y los espacios entre ellos son calles. Cada mañana, un estudiante camina desde la intersección $A$ hasta la intersección $B,$ siempre por las calles indicadas y siempre hacia el este o hacia el sur. Para variar, en cada intersección donde puede elegir, decide con probabilidad $\frac12$ , independientemente de todas las demás decisiones, si va hacia el este o hacia el sur. Halla la probabilidad de que, en una mañana cualquiera, pase por la intersección $C.$

The adjoining figure is a map of part of a city: the small rectangles are blocks and the spaces in between are streets. Each morning a student walks from intersection $A$ to intersection $B,$ always walking along streets shown, always going east or south. For variety, at each intersection where he has a choice, he chooses with probability $\frac12$ (independent of all other choices) whether to go east or south. Find the probability that, on any given morning, he walks through intersection $C.$

$\frac{11}{32}$

$\frac12$

$\frac47$

$\frac{21}{32}$

$\frac34$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica caminos reticulares probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Llegar a $C$ significa dar el tercer paso hacia el este antes del cuarto paso hacia el sur

Reaching $C$ means making the third eastward move before the fourth southward move

Pista grande:

Clasifica según la cantidad $i=0,1,2,3$ de pasos hacia el sur dados antes del tercer paso hacia el este

Condition on the number $i=0,1,2,3$ of south moves made before the third east move

Solución:

Si se dan $i$ pasos hacia el sur antes del tercer paso hacia el este, el último paso para llegar a $C$ va hacia el este y los $2+i$ pasos anteriores contienen dos pasos hacia el este. Por tanto, $\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $i$ south moves occur before the third east move, the final step to $C$ is east and the preceding $2+i$ steps contain two east moves. Thus $\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

26.

Si la representación en base $8$ de un cuadrado perfecto es $ab3c,$ donde $a\ne0,$ entonces $c$ es

If the base $8$ representation of a perfect square is $ab3c,$ where $a\ne0,$ then $c$ is

$0$

$1$

$3$

$4$

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular cuadrado perfecto base numérica residuo cuadrático

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Módulo $64,$ solo importan las dos últimas cifras en base $8$

Only the last two base- $8$ digits matter modulo $64$

Pista grande:

Enumera los residuos cuadráticos módulo $64$ que están entre $30_8$ y $37_8$

List the quadratic residues modulo $64$ that lie between $30_8$ and $37_8$

Solución:

Las dos últimas cifras octales $3c_8$ representan $24+c\pmod{64}.$ Entre $24,\ldots,31$ , el único cuadrado módulo $64$ es $25.$ Por tanto, $24+c=25,$ así que $c=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The last two octal digits $3c_8$ represent $24+c\pmod{64}.$ Squares modulo $64$ in the range $24,\ldots,31$ include only $25.$ Thus $24+c=25,$ so $c=1.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

Supón que $z=a+bi$ es una solución de la ecuación polinómica $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}$ donde $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4,$ $a,$ y $b$ son constantes reales e $i^2=-1.$ ¿Cuál de las siguientes expresiones también debe ser una solución?

Suppose $z=a+bi$ is a solution of the polynomial equation $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}$ where $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4,$ $a,$ and $b$ are real constants and $i^2=-1.$ Which one of the following must also be a solution?

$-a-bi$

$a-bi$

$-a+bi$

$b+ai$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)polinomio

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Conjuga toda la ecuación

Conjugate the entire equation

Pista grande:

Compara la ecuación conjugada en $\bar z$ con el polinomio original evaluado en $-\bar z$

Compare the conjugated equation at $\bar z$ with the original polynomial evaluated at $-\bar z$

Solución:

Al conjugar la ecuación, cada $i$ cambia a $-i$ y $z$ cambia a $\bar z.$ Como los términos de potencia impar también cambian de signo al negar la variable, esta ecuación conjugada es precisamente el polinomio original evaluado en $-\bar z.$ Por tanto, $-\bar z=-a+bi$ debe ser una raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Conjugating the equation changes each $i$ to $-i$ and $z$ to $\bar z.$ Because the odd-powered terms also change sign when the input is negated, this conjugated equation is precisely the original polynomial evaluated at $-\bar z.$ Thus $-\bar z=-a+bi$ must be a root.

Therefore, the correct answer is C.

28.

Se escribe en una pizarra un conjunto de enteros positivos consecutivos que comienza con $1.$ Se borra uno de los números. El promedio, o media aritmética, de los números restantes es $35\frac7{17}.$ ¿Qué número se borró?

A set of consecutive positive integers beginning with $1$ is written on a blackboard. One number is erased. The average (arithmetic mean) of the remaining numbers is $35\frac7{17}.$ What number was erased?

$6$

$7$

$8$

$9$

no se puede determinar

can not be determined

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Si el último número escrito es $n,$ quedan $n-1$ números

If the last written number is $n,$ the remaining count is $n-1$

Pista grande:

Usa las cotas $1\le e\le n$ para el valor borrado a fin de reducir los posibles valores de $n$

Use the bounds $1\le e\le n$ on the erased value to narrow the possible values of $n$

Solución:

El nuevo promedio $\frac{602}{17}$ es menor que el promedio original $\frac{n+1}{2}$ , pero difiere de él en menos de $\frac{n}{n-1},$ lo que obliga a que $n=69$ o $70.$ Como la suma restante $(n-1)(\frac{602}{17})$ debe ser entera, $n-1$ es divisible por $17,$ así que $n=69.$ El número borrado es $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The new average $\frac{602}{17}$ is below the original average $\frac{n+1}{2}$ but differs from it by less than $\frac{n}{n-1},$ forcing $n=69$ or $70.$ Since the remaining sum $(n-1)(\frac{602}{17})$ must be integral, $n-1$ is divisible by $17,$ so $n=69.$ The erased number is $\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

29.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ tres números reales positivos cuya suma es $1.$ Si ninguno de ellos es mayor que el doble de otro, entonces el valor mínimo posible del producto $xyz$ es

Let $x,$ $y,$ and $z$ be three positive real numbers whose sum is $1.$ If no one of these numbers is more than twice any other, then the minimum possible value of the product $xyz$ is

$\frac1{32}$

$\frac1{36}$

$\frac4{125}$

$\frac1{127}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Ordena las variables como $x\le y\le z$ ; entonces la restricción activa es $z\le2x$

Order the variables $x\le y\le z$ ; then the active constraint is $z\le2x$

Pista grande:

El mínimo se alcanza en la frontera $z=2x,$ donde $y=1-3x$

A minimum occurs on the boundary $z=2x,$ where $y=1-3x$

Solución:

Ordena $x\le y\le z.$ En el mínimo, la separación entre las variables es máxima, así que $z=2x$ y $y=1-3x.$ El orden exige $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.$ Por tanto, $xyz=2x^2(1-3x).$ Su único punto crítico interior es un máximo, de modo que comparamos los extremos: los valores son $\frac{4}{125}$ y $\frac{1}{32},$ respectivamente. El mínimo es $\frac{1}{32}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Order $x\le y\le z.$ At a minimum the spread is maximal, so $z=2x$ and $y=1-3x.$ The ordering requires $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.$ Thus $xyz=2x^2(1-3x).$ Its only interior critical point is a maximum, so compare endpoints: the values are $\frac{4}{125}$ and $\frac{1}{32},$ respectively. The minimum is $\frac{1}{32}.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

Halla la cifra de las unidades en la expansión decimal de $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}.$

Find the units digit in the decimal expansion of $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}.$

$0$

$2$

$5$

$9$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:recursión aritmética modular dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Empareja $\alpha=15+\sqrt{220}$ con su conjugado $\beta=15-\sqrt{220}$

Pair $\alpha=15+\sqrt{220}$ with its conjugate $\beta=15-\sqrt{220}$

Pista grande:

Los enteros $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfacen una recurrencia breve, mientras que $0\lt\beta\lt1$

The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy a short recurrence, while $0\lt\beta\lt1$

Solución:

Sean $\alpha=15+\sqrt{220}$ y $\beta=15-\sqrt{220},$ de modo que $0\lt\beta\lt1.$ Los enteros $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfacen $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2},$ por lo que $S_n\equiv0\pmod{10}$ para todo $n\ge1.$ Por tanto, $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ es un múltiplo de $10$ menos un número positivo menor que $1.$ Así, su parte entera termina en $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\alpha=15+\sqrt{220}$ and $\beta=15-\sqrt{220},$ so $0\lt\beta\lt1.$ The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2},$ hence $S_n\equiv0\pmod{10}$ for every $n\ge1.$ Therefore $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ is a multiple of $10$ minus a positive number less than $1.$ Its integer part therefore ends in $9.$

Therefore, the correct answer is D.

Problemas del 1982 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande: