Question

La figura adjunta es un mapa de una parte de una ciudad: los rectángulos pequeños son manzanas y los espacios entre ellos son calles. Cada mañana, un estudiante camina desde la intersección $A$ hasta la intersección $B,$ siempre por las calles indicadas y siempre hacia el este o hacia el sur. Para variar, en cada intersección donde puede elegir, decide con probabilidad $\frac12$ , independientemente de todas las demás decisiones, si va hacia el este o hacia el sur. Halla la probabilidad de que, en una mañana cualquiera, pase por la intersección $C.$

The adjoining figure is a map of part of a city: the small rectangles are blocks and the spaces in between are streets. Each morning a student walks from intersection $A$ to intersection $B,$ always walking along streets shown, always going east or south. For variety, at each intersection where he has a choice, he chooses with probability $\frac12$ (independent of all other choices) whether to go east or south. Find the probability that, on any given morning, he walks through intersection $C.$

$\frac{11}{32}$

$\frac12$

$\frac47$

$\frac{21}{32}$

$\frac34$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica caminos reticulares probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Llegar a $C$ significa dar el tercer paso hacia el este antes del cuarto paso hacia el sur

Reaching $C$ means making the third eastward move before the fourth southward move

Pista grande:

Clasifica según la cantidad $i=0,1,2,3$ de pasos hacia el sur dados antes del tercer paso hacia el este

Condition on the number $i=0,1,2,3$ of south moves made before the third east move

Solución:

Si se dan $i$ pasos hacia el sur antes del tercer paso hacia el este, el último paso para llegar a $C$ va hacia el este y los $2+i$ pasos anteriores contienen dos pasos hacia el este. Por tanto, $\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $i$ south moves occur before the third east move, the final step to $C$ is east and the preceding $2+i$ steps contain two east moves. Thus $\begin{aligned} \Pr(C) &=\sum_{i=0}^3\binom{2+i}{2}2^{-(3+i)}\\ &=\frac18+\frac3{16}+\frac6{32}\\ &\quad+\frac{10}{64}\\ &=\frac{21}{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1982 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años