Question

En cierta competencia de campo traviesa entre dos equipos de cinco corredores cada uno, quien termina en la posición $n$ aporta $n$ puntos a su equipo. Gana el equipo con la puntuación más baja. Si no hay empates entre los corredores, ¿cuántas puntuaciones ganadoras distintas son posibles?

In a certain cross-country meet between two teams of five runners each, a runner who finishes in the $n$ th position contributes $n$ to his team’s score. The team with the lower score wins. If there are no ties among the runners, how many different winning scores are possible?

$10$

$13$

$27$

$120$

$126$

Respuesta: B

Conceptos:subconjuntos argumento extremal enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Las puntuaciones de los dos equipos suman $1+2+\cdots+10$

The two team scores add to $1+2+\cdots+10$

Pista grande:

Determina la puntuación ganadora mínima y verifica que se puede obtener cada entero menor que la mitad del total

Determine the minimum winning score and verify that every integer below half the total is attainable

Solución:

Las dos puntuaciones suman $55,$ así que la puntuación ganadora es a lo sumo $27.$ Su mínimo es $1+2+3+4+5=15.$ Cada puntuación del $15$ al $20$ se obtiene con $\{1,2,3,4,k\}$ para $k=5,\ldots,10.$ Las puntuaciones del $21$ al $25$ se obtienen con $\{1,2,3,k,10\}$ para $k=5,\ldots,9,$ y las puntuaciones $26,27$ se obtienen con $\{1,2,4,9,10\}$ y $\{1,2,5,9,10\}.$ Por tanto, son posibles los $13$ enteros del $15$ al $27.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The two scores sum to $55,$ so the winning score is at most $27.$ Its minimum is $1+2+3+4+5=15.$ Every score from $15$ through $20$ is obtained by $\{1,2,3,4,k\}$ for $k=5,\ldots,10.$ Scores $21$ through $25$ use $\{1,2,3,k,10\}$ for $k=5,\ldots,9,$ and $26,27$ use $\{1,2,4,9,10\}$ and $\{1,2,5,9,10\}.$ Thus all $13$ integers from $15$ through $27$ are possible.

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años