Question

Sea $a$ un número positivo. Considera el conjunto $S$ de todos los puntos cuyas coordenadas rectangulares $(x,y)$ satisfacen todas las condiciones siguientes: $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}$ La frontera del conjunto $S$ es un polígono con

Let $a$ be a positive number. Consider the set $S$ of all points whose rectangular coordinates $(x,y)$ satisfy all of the following conditions: $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}$ The boundary of set $S$ is a polygon with

$3$ lados

$3$ sides

$4$ lados

$4$ sides

$5$ lados

$5$ sides

$6$ lados

$6$ sides

$7$ lados

$7$ sides

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica desigualdad

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Comienza con el cuadrado descrito por las condiciones $\text{(i)}$ y $\text{(ii)}$

Begin with the square described by conditions $\text{(i)}$ and $\text{(ii)}$

Pista grande:

Determina qué condición es redundante y cuáles dos recortan vértices opuestos

Determine which condition is redundant and which two cut off opposite corners

Solución:

Las dos primeras condiciones forman el cuadrado $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].$ Dentro de este cuadrado, $x+y\ge a$ se cumple automáticamente. Las dos últimas condiciones equivalen a $|x-y|\le a;$ sus rectas frontera recortan los vértices $(2a,\frac{a}{2})$ y $(\frac{a}{2},2a).$ Al recortar dos vértices opuestos de un cuadrado se obtiene un hexágono, por lo que la frontera tiene seis lados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first two conditions form the square $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].$ Within this square, $x+y\ge a$ is automatic. The last two conditions are equivalent to $|x-y|\le a;$ their boundary lines cut off the corners $(2a,\frac{a}{2})$ and $(\frac{a}{2},2a).$ Cutting two opposite corners from a square produces a hexagon, so the boundary has six sides.

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años