Question

Si los números distintos y no nulos $x(y-z),$ $y(z-x),$ $z(x-y)$ forman una progresión geométrica de razón común $r,$ entonces $r$ satisface la ecuación

If the distinct nonzero numbers $x(y-z),$ $y(z-x),$ $z(x-y)$ form a geometric progression with common ratio $r,$ then $r$ satisfies the equation

$r^2+r+1=0$

$r^2-r+1=0$

$r^4+r^2-1=0$

$(r+1)^4+r=0$

$(r-1)^4+r=0$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Suma las tres expresiones dadas

Add the three given expressions

Pista grande:

Escribe los tres términos no nulos como $u,$ $ur,$ $ur^2$

Write the three nonzero terms as $u,$ $ur,$ $ur^2$

Solución:

Las tres expresiones tienen suma $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}$ Al escribir la progresión geométrica no nula como $u,$ $ur,$ $ur^2$ se obtiene $u(1+r+r^2)=0.$ Como $u\ne0,$ $r^2+r+1=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three expressions have sum $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}$ Writing the nonzero geometric progression as $u,$ $ur,$ $ur^2$ gives $u(1+r+r^2)=0.$ Since $u\ne0,$ $r^2+r+1=0.$

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años