Question

Una muestra de cinco observaciones tiene media aritmética $10$ y mediana $12.$ El menor valor que puede tomar el rango (observación mayor menos observación menor) de tal muestra es

A sample consisting of five observations has an arithmetic mean of $10$ and a median of $12.$ The smallest value that the range (largest observation minus smallest) can assume for such a sample is

$2$

$3$

$5$

$7$

$10$

Respuesta: C

Conceptos:media median rango extremal construction

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Ordena las observaciones como $a\le b\le12\le d\le e$

Order the observations as $a\le b\le12\le d\le e$

Pista grande:

Usa la suma total $50$ y luego comprueba si es posible un rango menor que $5$

Use the total sum $50$ , then test whether a range below $5$ is possible

Solución:

La muestra $7,7,12,12,12$ tiene suma $50,$ mediana $12,$ y rango $5,$ así que el rango $5$ es posible. Supón que el rango fuera a lo sumo $4.$ Si el valor mayor fuera a lo sumo $12,$ los tres valores superiores serían $12,$ dejando suma $14$ para los dos inferiores; sin embargo, cada uno sería al menos $8,$ una contradicción. Si el valor mayor excediera $12,$ el menor excedería $8,$ y la suma sería mayor que $8+8+12+12+12=52.$ Así, ningún rango menor funciona. La respuesta correcta es C.

The sample $7,7,12,12,12$ has sum $50,$ median $12,$ and range $5,$ so range $5$ is possible. Suppose the range were at most $4.$ If the largest value were at most $12,$ then the top three values would all be $12,$ leaving the bottom two with sum $14;$ yet each would be at least $8,$ a contradiction. If the largest value exceeded $12,$ then the smallest would exceed $8,$ making the total exceed $8+8+12+12+12=52.$ Thus no smaller range works. The correct answer is C.

1994 AMC 12 Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años