Question

Existen enteros positivos $A,$ $B,$ y $C,$ sin factor común mayor que $1,$ tales que $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ ¿Cuál es $A+B+C$ ?

There exist positive integers $A,$ $B,$ and $C,$ with no common factor greater than $1,$ such that $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ What is $A+B+C?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: A

Conceptos:logarithms factorización en primos

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Combina el lado izquierdo en un solo logaritmo

Combine the left side into one logarithm

Pista grande:

Usa $200=2^3\cdot5^2$ y compara los exponentes primos

Use $200=2^3\cdot5^2$ and compare prime exponents

Solución:

Al combinar logaritmos se obtiene $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ por lo que $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Entonces $A=2C$ y $B=3C.$ La terna positiva sin factor común es $(A,B,C)=(2,3,1),$ cuya suma es $6.$ La respuesta correcta es A.

Combining logarithms gives $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ so $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Hence $A=2C$ and $B=3C.$ The relatively prime positive triple is $(A,B,C)=(2,3,1),$ whose sum is $6.$ Thus the correct answer is A.

1995 AMC 12 Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años