Question

存在正整数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，它们没有大于 $1$ 的公因数，并且 $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C\text{。}$ 求 $A+B+C$ 。

There exist positive integers $A,$ $B,$ and $C,$ with no common factor greater than $1,$ such that $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ What is $A+B+C?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：A

知识点：logarithms 质因数分解

难度评级：1900

小提示：

将左边合并为一个对数

Combine the left side into one logarithm

大提示：

利用 $200=2^3\cdot5^2$ ，并比较各质因数的指数

Use $200=2^3\cdot5^2$ and compare prime exponents

解答：

合并对数得 $\log_{200}(5^A2^B)=C\text{，}$ 所以 $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}$ 。因此 $A=2C$ ，且 $B=3C$ 。没有公因数的正整数三元组为 $(A,B,C)=(2,3,1)$ ，其和为 $6$ 。所以正确答案是 A。

Combining logarithms gives $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ so $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Hence $A=2C$ and $B=3C.$ The relatively prime positive triple is $(A,B,C)=(2,3,1),$ whose sum is $6.$ Thus the correct answer is A.

1995 AMC 12 第 24 题

答案：A

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题