Question

下图为一个内接于单位圆的正 $7$ 边形。

它的全部 $21$ 条边和对角线长度的 $4$ 次方之和是多少？

The figure below depicts a regular $7$ -gon inscribed in a unit circle.

What is the sum of the $4$ th powers of the lengths of all $21$ of its edges and diagonals?

$49$

$98$

$147$

$168$

$196$

答案：C

知识点：弦单位根三角恒等式

难度评级：2370

小提示：

相隔 $d$ 步的两个顶点之间，弦长的平方为 $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}$ ；对于 $d = 1, 2, 3$ ，每一类都有 $7$ 条弦。

A chord between vertices $d$ apart has squared length $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7};$ there are $7$ of each type $d = 1, 2, 3$

大提示：

使用 $\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12$ 来计算 $\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2$ 。

Use $\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12$ to evaluate $\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2$

解答：

相隔 $d$ 步的两个顶点之间弦长平方为 $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}$ ，且 $d = 1, 2, 3$ 时每类有 $7$ 条弦。因此所求和为 $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2\text{。}$

利用 $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ 以及 $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54$ ，括号内的和展开为 $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21$ 。

因此总和是 $7 \cdot 21 = 147$ 。

所以正确答案是 C。

A chord joining two vertices $d$ steps apart has squared length $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},$ and there are $7$ chords for each of $d = 1, 2, 3.$ The required sum is $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.$

Using $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ and $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,$ the inner sum expands to $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.$

Therefore the total is $7 \cdot 21 = 147.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2370

小提示：

大提示：

解答：

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