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2010 AMC 12B 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

满足 1x−2009+1x−2010+1x−2011≥1 \begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned} 的实数 xx 构成若干形如 a<x≤ba\lt x\le b 的区间之并。这些区间的长度之和是多少？

The set of real numbers xx for which 1x−2009+1x−2010+1x−2011≥1 \begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned} is the union of intervals of the form a<x≤b.a\lt x\le b. What is the sum of the lengths of these intervals?

1003335\dfrac{1003}{335}

1004335\dfrac{1004}{335}

33

403134\dfrac{403}{134}

20267\dfrac{202}{67}

答案：C
知识点：分式方程不等式韦达定理
难度评级：2320
小提示：

左边在每个竖直渐近线之间的区间上递减，所以每个解区间都结束于方程 =1=1 的一个根

The left side is decreasing on each interval between its vertical asymptotes, so each solution interval ends at a root of the equation =1=1

大提示：

三个右端点是一个三次方程的根；用韦达定理求它们的和

The three right endpoints are the roots of a cubic; sum them with Vieta

解答：

设 f(x)f(x) 为不等式的左边。在相邻的竖直渐近线 2009,2010,20112009, 2010, 2011 之间的每个区间上，函数 ff 都递减；而且对所有 x<2009x\lt2009，都有 f<1f\lt1。

在 (2009,2010)(2009,2010)、(2010,2011)(2010,2011) 和 (2011,∞)(2011,\infty) 上，解都是从左侧的渐近线开始，直到某个满足 f(xi)=1f(x_i)=1 的 xix_i 为止。因此解集由三个区间组成，左端点为 2009,2010,20112009, 2010, 2011，右端点为 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3。

总长度是 (x1−2009)(x_1-2009) +(x2−2010)+(x_2-2010) +(x3−2011)+(x_3-2011) =x1+x2+x3−6030=x_1+x_2+x_3-6030。

在 f(x)=1f(x)=1 中清除分母，得到 x3−(2009+2010+2011+3)x2+⋯=0， \begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0\text{，} \end{aligned} 它的三个根是 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3。由韦达定理，x1+x2+x3=6033x_1+x_2+x_3=6033，所以长度之和为 6033−6030=36033-6030=3。

因此，正确答案是 C。

Let f(x)f(x) be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes 2009,2010,2011,2009, 2010, 2011, the function ff is decreasing, and f<1f\lt1 for all x<2009.x\lt2009.

On each of (2009,2010),(2009,2010), (2010,2011),(2010,2011), and (2011,∞),(2011,\infty), the solution is the part from the left asymptote up to a value xix_i where f(xi)=1.f(x_i)=1. So the solution set consists of three intervals with left endpoints 2009,2010,20112009, 2010, 2011 and right endpoints x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3.

The total length is (x1−2009)(x_1-2009) +(x2−2010)+(x_2-2010) +(x3−2011)+(x_3-2011) =x1+x2+x3−6030.=x_1+x_2+x_3-6030.

Clearing denominators in f(x)=1f(x)=1 gives x3−(2009+2010+2011+3)x2+⋯=0, \begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned} whose roots are x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3. By Vieta, x1+x2+x3=6033,x_1+x_2+x_3=6033, so the sum of lengths is 6033−6030=3.6033-6030=3.

Thus, the correct answer is C.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

其他年份的第 24 题

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