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1952 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在图中，已知角 C=90∘C=90^\circ、AD=DBAD=DB、DE⊥ABDE\perp AB、AB=20AB=20，且 AC=12AC=12。四边形 ADECADEC 的面积为：

In the figure, it is given that angle C=90∘,C=90^\circ, AD=DB,AD=DB, DE⊥AB,DE\perp AB, AB=20,AB=20, and AC=12.AC=12. The area of quadrilateral ADECADEC is:

7575

581258\dfrac12

4848

371237\dfrac12

以上答案均不正确

None of these

答案：B
知识点：坐标几何直角三角形面积
难度评级：1760
小提示：

将 ABAB 放在 xx 轴上，并由两条边长求出 CC 的坐标

Place ABAB on the xx-axis and find the coordinates of CC from the two side lengths

大提示：

过中点 DD 的垂线与 CBCB 相交于 EE；再对 A,D,E,CA,D,E,C 使用鞋带公式

The perpendicular through midpoint DD meets CBCB at EE; then use the shoelace formula on A,D,E,CA,D,E,C

解答：

因为 AB=20AB=20、AC=12AC=12，且角 CC 为直角，所以 BC=16BC=16。令 A=(0,0)A=(0,0)、B=(20,0)B=(20,0)。解方程组 xC2+yC2=144,(xC−20)2+yC2=256 \begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned} 得 C=(365,485)C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5})。另有 D=(10,0)D=(10,0)。

直线 CBCB 与 x=10x=10 相交于 E=(10,152)E=(10,\frac{15}{2})。现在对 A,D,E,CA,D,E,C 使用鞋带公式，得到 [ADEC]=12(10⋅152+10⋅485−152⋅365)=1172=5812。 \begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

Since AB=20,AB=20, AC=12,AC=12, and angle CC is right, BC=16.BC=16. Put A=(0,0)A=(0,0) and B=(20,0).B=(20,0). Solving xC2+yC2=144,(xC−20)2+yC2=256 \begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned} gives C=(365,485).C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}). Also D=(10,0).D=(10,0).

The line CBCB meets x=10x=10 at E=(10,152).E=(10,\frac{15}{2}). The shoelace formula for A,D,E,CA,D,E,C now gives [ADEC]=12(10⋅152+10⋅485−152⋅365)=1172=5812. \begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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