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1992 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

设 ABCDABCD 是面积为 1010 的平行四边形，其中 AB=3AB=3、BC=5BC=5。点 EE、FF 和 GG 分别位于线段 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 和 AD‾\overline{AD} 上，并且 AE=BF=AG=2AE=BF=AG=2。过 GG 作平行于 EF‾\overline{EF} 的直线，与 CD‾\overline{CD} 交于 HH。四边形 EFHGEFHG 的面积为

Let ABCDABCD be a parallelogram of area 1010 with AB=3AB=3 and BC=5.BC=5. Locate E,E, F,F, and GG on segments AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, and AD‾,\overline{AD}, respectively, with AE=BF=AG=2.AE=BF=AG=2. Let the line through GG parallel to EF‾\overline{EF} intersect CD‾\overline{CD} at H.H. The area of the quadrilateral EFHGEFHG is

44

4.54.5

55

5.55.5

66

答案：C
知识点：平行四边形affine coordinatespolygon area
难度评级：2040
小提示：

以 ABAB 和 ADAD 为仿射坐标基

Use ABAB and ADAD as an affine coordinate basis

大提示：

在该坐标基下，E=(23,0)E=(\frac{2}{3},0)、F=(1,25)F=(1,\frac{2}{5})，且 G=(0,25)G=(0,\frac{2}{5})；利用平行条件确定 HH

In that basis, E=(23,0),E=(\frac{2}{3},0), F=(1,25),F=(1,\frac{2}{5}), and G=(0,25)G=(0,\frac{2}{5}); use the parallel condition to locate HH

解答：

以 ABAB 和 ADAD 为基向量，则 E=(23,0),F=(1,25),G=(0,25)。 \begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right) \end{aligned}\text{。}过 GG 且平行于 EFEF 的直线与 CDCD 交于 H=(12,1)H=(\frac{1}{2},1)。用鞋带公式可得 EFHGEFHG 在该坐标系中的面积为 12\frac{1}{2}。仿射坐标中的面积应乘以 ABCDABCD 的面积 1010，所以 [EFHG]=12⋅10=5[EFHG]=\frac12\cdot10=5。

因此正确答案是 C。

Use ABAB and ADAD as basis vectors. Then E=(23,0),F=(1,25),G=(0,25). \begin{aligned} E&=\left(\frac23,0\right),\\ F&=\left(1,\frac25\right),\\ G&=\left(0,\frac25\right). \end{aligned} A line from GG parallel to EFEF meets CDCD at H=(12,1).H=(\frac{1}{2},1). The shoelace formula gives the coordinate area of EFHGEFHG as 12.\frac{1}{2}. Affine coordinates scale all areas by the area 1010 of ABCD,ABCD, so [EFHG]=12⋅10=5.[EFHG]=\frac12\cdot10=5.

Thus the correct answer is C.

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