Question

若互不相同的非零数 $x(y-z)$ 、 $y(z-x)$ 、 $z(x-y)$ 构成公比为 $r$ 的等比数列，则 $r$ 满足方程

If the distinct nonzero numbers $x(y-z),$ $y(z-x),$ $z(x-y)$ form a geometric progression with common ratio $r,$ then $r$ satisfies the equation

$r^2+r+1=0$

$r^2-r+1=0$

$r^4+r^2-1=0$

$(r+1)^4+r=0$

$(r-1)^4+r=0$

答案：A

知识点：等比数列代数变形

难度评级：2040

小提示：

将题给的三个表达式相加

Add the three given expressions

大提示：

将三个非零项写成 $u$ 、 $ur$ 、 $ur^2$

Write the three nonzero terms as $u,$ $ur,$ $ur^2$

解答：

三个表达式之和为 $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0\text{。} \end{aligned}$ 将这个非零等比数列写成 $u$ 、 $ur$ 、 $ur^2$ ，可得 $u(1+r+r^2)=0$ 。由于 $u\ne0$ ，所以 $r^2+r+1=0$ 。

因此，正确答案是 A。

The three expressions have sum $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}$ Writing the nonzero geometric progression as $u,$ $ur,$ $ur^2$ gives $u(1+r+r^2)=0.$ Since $u\ne0,$ $r^2+r+1=0.$

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 第 24 题

答案：A

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题