Question

有多少个多项式函数 $f$ 的次数 $\ge1$ ，且满足 $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))\text{？}$

How many polynomial functions $f$ of degree $\ge1$ satisfy $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?$

$0$

$1$

$2$

有限多个，但多于 $2$ 个

finitely many but more than $2$

无限多个

infinitely many

答案：B

知识点：polynomial degree leading coefficient 函数方程

难度评级：2310

小提示：

比较这三个多项式的次数和首项系数

Compare the degrees and leading coefficients of the three polynomials

大提示：

证明 $f$ 是首一二次多项式后，在 $f(x^2)=[f(x)]^2$ 中比较各项系数

After proving $f$ is a monic quadratic, compare coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$

解答：

设 $f$ 的次数为 $n\ge1$ ，首项系数为 $a$ 。三个表达式的次数分别为 $2n,2n,n^2$ ，所以 $n^2=2n$ ，从而 $n=2$ 。比较 $f(x^2)=[f(x)]^2$ 两边的首项系数，得到 $a=a^2$ ，因此 $a=1$ 。

令 $f(x)=x^2+bx+c$ 。那么 $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2\text{。}$ 三次项系数迫使 $b=0$ ，随后二次项系数迫使 $c=0$ 。因此唯一可能的函数是 $f(x)=x^2$ ，而它确实使三个表达式都相等。所以恰有一个这样的函数。

因此，正确答案是 B。

Let $f$ have degree $n\ge1$ and leading coefficient $a.$ The three expressions have degrees $2n,2n,n^2,$ so $n^2=2n$ and therefore $n=2.$ Comparing leading coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$ gives $a=a^2,$ hence $a=1.$

Write $f(x)=x^2+bx+c.$ Then $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.$ The cubic coefficient forces $b=0,$ and then the quadratic coefficient forces $c=0.$ Thus the only candidate is $f(x)=x^2,$ which indeed satisfies all three expressions. There is exactly one function.

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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