Question

设 $S$ 为坐标平面中所有满足 $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ 且 $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}$ 的点 $(x, y)$ 的集合。 $S$ 中满足下式的子集的面积是多少 $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}\text{？}$

Let $S$ be the set of all points $(x, y)$ in the coordinate plane such that $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ and $0 \le y \le \dfrac{\pi}{2}.$ What is the area of the subset of $S$ for which $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y \le \frac{3}{4}?$

$\dfrac{\pi^2}{9}$

$\dfrac{\pi^2}{8}$

$\dfrac{\pi^2}{6}$

$\dfrac{3\pi^2}{16}$

$\dfrac{2\pi^2}{9}$

答案：C

知识点：三角恒等式二次方程面积

难度评级：2480

小提示：

把表达式看作关于 $\sin x$ 的二次式，并求它等于 $\dfrac34$ 的位置

Treat the expression as a quadratic in $\sin x$ and find where it equals $\dfrac34$

大提示：

边界化为 $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right)$ ，在 $S$ 中给出若干直线。

The boundary reduces to $\sin x = \sin\!\left(y \pm \dfrac{\pi}{3}\right),$ giving straight lines in $S$

解答：

固定 $y$ ，把 $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ 看作关于 $\sin x$ 的二次方程： $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}\text{。}$

在 $S$ 内， $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ 给出直线 $x = y - \tfrac{\pi}{3}$ ；而 $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ 在 $y \le \tfrac{\pi}{6}$ 时给出 $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ ，在 $y \ge \tfrac{\pi}{6}$ 时给出 $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ 。

这些直线把 $S$ 分成若干区域；检验角点可知不等式只在中间带状区域成立。其面积为 $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Fixing $y,$ solve $\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y = \dfrac34$ as a quadratic in $\sin x:$ $\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2}\sin y \\ &\quad {}\pm \frac{\sqrt3}{2}\cos y \\ &\quad = \sin\!\left(y \pm \frac{\pi}{3}\right). \end{aligned}$

Within $S,$ $\sin x = \sin\!\left(y - \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives the line $x = y - \tfrac{\pi}{3},$ while $\sin x = \sin\!\left(y + \tfrac{\pi}{3}\right)$ gives $x = y + \tfrac{\pi}{3}$ for $y \le \tfrac{\pi}{6}$ and $x = -y + \tfrac{2\pi}{3}$ for $y \ge \tfrac{\pi}{6}.$

These lines split $S$ into regions; testing the corners shows the inequality holds only in the middle band. Its area is $\begin{aligned} &\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &\quad = \frac{\pi^2}{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2480

小提示：

大提示：

解答：

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