Question

令 $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3$ 。设 $S$ 表示复平面中所有形如 $a+b\omega+c\omega^2$ 的点，其中 $0\le a\le1$ ， $0\le b\le1$ ，且 $0\le c\le1$ 。 $S$ 的面积是多少？

Let $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3.$ Let $S$ denote all points in the complex plane of the form $a+b\omega+c\omega^2,$ where $0\le a\le1,$ $0\le b\le1,$ and $0\le c\le1.$ What is the area of $S?$

$\dfrac12\sqrt3$

$\dfrac34\sqrt3$

$\dfrac32\sqrt3$

$\dfrac12\pi\sqrt3$

$\pi$

答案：C

知识点：复数向量面积

难度评级：2390

小提示：

$S$ 是沿 $1,\ \omega,\ \omega^2$ 三个方向的线段的闵可夫斯基和

$S$ is the Minkowski sum of three segments along $1,\ \omega,\ \omega^2$

大提示：

带状多边形的面积等于所有生成向量对的 $\displaystyle\sum_{i\lt j}\bigl|v_i\times v_j\bigr|$ 。

A zonogon’s area equals $\displaystyle\sum_{i\lt j}\bigl|v_i\times v_j\bigr|$ over the generating vectors

解答：

当 $a,b,c$ 在 $[0,1]$ 中变化时，集合 $S$ 是沿向量 $v_1=1=(1,0)$ ， $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ ， $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ 的三个单位线段的闵可夫斯基和。

这是一个带状多边形，其面积等于所有向量对的叉积大小之和。每一对都给出 $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

因此面积为 $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$ 。

所以正确答案是 C。

As $a,b,c$ range over $[0,1],$ the set $S$ is the Minkowski sum of the three unit segments along $v_1=1=(1,0),$ $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$ $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$

This is a zonogon whose area is the sum of the cross-product magnitudes over pairs. Each pair gives $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Therefore the area is $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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