Question

按如下方式选取一个非零数字：选中数字 $d$ 的概率为 $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d$ 。选中数字 $2$ 的概率恰为所选数字属于下列哪个集合的概率的 $\frac{1}{2}$ ？

A non-zero digit is chosen in such a way that the probability of choosing digit $d$ is $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d.$ The probability that the digit $2$ is chosen is exactly $\frac{1}{2}$ the probability that the digit chosen is in the set

$\{2,3\}$

$\{3,4\}$

$\{4,5,6,7,8\}$

$\{5,6,7,8,9\}$

$\{4,5,6,7,8,9\}$

答案：C

知识点：基本概率对数裂项相消

难度评级：1800

小提示：

数字 $2$ 的概率的两倍为 $2\log_{10}(\frac{3}{2})$

Twice the probability of digit $2$ is $2\log_{10}(\frac{3}{2})$

大提示：

对连续数字集合的概率求和时，可将对数逐项消去

Sum the probabilities over a consecutive set by telescoping its logarithms

解答：

选中 $2$ 的概率为 $\log_{10}(\frac{3}{2})$ ，所以其两倍为 $\log_{10}(\frac{9}{4})$ 。对于从 $4$ 到 $8$ 的数字，概率和逐项消去： $\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94\text{。} \end{aligned}$ 因此该集合的概率恰为选中数字 $2$ 的概率的两倍。

所以正确答案是 C。

The probability of $2$ is $\log_{10}(\frac{3}{2}),$ so twice that probability is $\log_{10}(\frac{9}{4}).$ For the digits $4$ through $8,$ the sum telescopes: $\begin{aligned} &\sum_{d=4}^{8} \bigl(\log_{10}(d+1)\\ &\qquad{}-\log_{10}d\bigr) =\log_{10}\frac94. \end{aligned}$ Therefore that set has exactly twice the probability of digit $2.$

Thus the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 24 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题