Question

五个人围坐在一张圆桌旁。设 $f\ge0$ 为至少与一名女性相邻而坐的人数， $m\ge0$ 为至少与一名男性相邻而坐的人数。可能的有序数对 $(f,m)$ 一共有多少个？

Five people are sitting at a round table. Let $f\ge0$ be the number of people sitting next to at least one female and $m\ge0$ be the number of people sitting next to at least one male. The number of possible ordered pairs $(f,m)$ is

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：B

知识点：环形排列分类讨论系统列举

难度评级：2210

小提示：

按照女性人数对座位安排进行分类

Classify arrangements by the number of females

大提示：

有两名女性时，分别考虑她们相邻和不相邻的情形；再利用对称性得到有三名女性的情形

With two females, separate the adjacent and nonadjacent cases; obtain three-female cases by symmetry

解答：

当女性人数分别为 $0,1,2$ 时，可能的数对依次为 $\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4) \end{aligned}\text{，}$ 其中有两名女性的两种情形分别对应她们相邻和不相邻。交换两种性别，可得 $\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3) \end{aligned}\text{。}$ 这些是 $8$ 个不同的有序数对。

所以正确答案是 B。

For $0,1,2$ females, the possible pairs are respectively $\begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned}$ where the two-female cases distinguish adjacent from nonadjacent females. Swapping the sexes gives $\begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned}$ These are $8$ distinct ordered pairs.

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题