Question

一个粒子按如下方式在第一象限内运动。第一分钟，它从原点移动到 $(1,0)$ 。此后，它继续按照图中所示的方向运动，在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴之间往返，并且每分钟沿与某一坐标轴平行的方向移动一个单位长度。恰好经过 $1989$ 分钟后，粒子位于哪个点？

A particle moves through the first quadrant as follows. During the first minute it moves from the origin to $(1,0).$ Thereafter, it continues to follow the directions indicated in the figure, going back and forth between the positive $x$ and $y$ axes, moving one unit of distance parallel to an axis in each minute. At which point will the particle be after exactly $1989$ minutes?

$(35,44)$

$(36,45)$

$(37,45)$

$(44,35)$

$(45,36)$

答案：D

知识点：过程模拟找规律正方形（几何）

难度评级：2150

小提示：

记录粒子在时刻 $1,4,9,16,\ldots$ 的位置

Record the particle’s location at times $1,4,9,16,\ldots$

大提示：

将 $1989$ 与相邻的两个平方数 $44^2$ 和 $45^2$ 比较

Compare $1989$ with the consecutive squares $44^2$ and $45^2$

解答：

在时刻 $n^2$ ，粒子位于 $(n,0)$ （当 $n$ 为奇数）或 $(0,n)$ （当 $n$ 为偶数）。因此，在时刻 $44^2=1936$ ，粒子位于 $(0,44)$ 。接着它向右移动 $44$ 个单位，到达 $(44,44)$ 时是时刻 $1980$ ，然后在接下来的 $9$ 分钟内向下移动。因此，在时刻 $1989$ ，它位于 $(44,35)$ 。

所以正确答案是 D。

At time $n^2,$ the particle is at $(n,0)$ for odd $n$ and at $(0,n)$ for even $n.$ Thus at time $44^2=1936$ it is at $(0,44).$ It then moves $44$ units right, reaching $(44,44)$ at time $1980,$ and moves downward for the next $9$ minutes. At time $1989$ it is therefore at $(44,35).$

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题