Question

对某些实数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，多项式 $g(x)=x^3+ax^2+x+10$ 有三个不同的根，且 $g(x)$ 的每个根也是多项式 $\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c \end{aligned}$ 的根。 $f(1)$ 是多少？

For certain real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ the polynomial $g(x)=x^3+ax^2+x+10$ has three distinct roots, and each root of $g(x)$ is also a root of the polynomial $\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c. \end{aligned}$ What is $f(1)?$

$-9009$

$-8008$

$-7007$

$-6006$

$-5005$

答案：C

知识点：多项式因式分解

难度评级：2380

小提示：

因为 $g$ 的三个根都是 $f$ 的根，所以对某个额外根 $q$ 有 $f(x)=(x-q)\,g(x)$

Since the three roots of $g$ are roots of $f,$ we have $f(x)=(x-q)\,g(x)$ for one extra root $q$

大提示：

比较 $x^1$ 项系数求 $q$ ，再用 $f(1)=(1-q)\,g(1)$

Match the $x^1$ coefficients to find $q,$ then $f(1)=(1-q)\,g(1)$

解答：

因为 $g$ 有三个不同的根，且都被四次多项式 $f$ 共享，所以可写成 $f(x)=(x-q)g(x)$ ，其中 $q$ 是剩下的根。展开得 $\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q \end{aligned}\text{。}$

比较 $x$ 的系数， $10-q=100$ ，所以 $q=-90$ 。比较 $x^3$ 的系数， $a-q=1$ ，所以 $a=-89$ 。

因此 $g(1)=1+a+1+10$ $=12-89=-77$ ，且 $1-q=91$ ，所以 $\begin{aligned} &f(1)=(1-q)g(1) \\ &=91\cdot(-77)=-7007 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Since $g$ has three distinct roots all shared by the quartic $f,$ we can write $f(x)=(x-q)g(x)$ for some remaining root $q.$ Expanding, $\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q. \end{aligned}$

Matching the $x$ coefficient, $10-q=100,$ so $q=-90.$ Matching the $x^3$ coefficient, $a-q=1,$ so $a=-89.$

Then $g(1)=1+a+1+10$ $=12-89=-77$ and $1-q=91,$ so $\begin{aligned} &f(1)=(1-q)g(1) \\ &=91\cdot(-77)=-7007. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2017 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

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解答：

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